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théorème du point fixe en dimension n



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    théorème du point fixe en dimension n

    bonjour, j ai un exo, où il faut que j´utilise le théorème du point fixe, où il faut d´abord que je prouve que ce théorème s´applique, en dimension 2:

    F : IR^2 -> IR^2

    F(x_1,x_2) = (1/2.x_2^2 + 1/8, 1/4.x_1^2 - 1/6)

    Il faut montrer qu´il y a un point fixe dans D = disque fermé de rayon 1.

    Bon. Je sais bien appliquer le théorème en dim 1, mais je m´apercois que dans la pratique, en dimension n, je sais pas trop. Il faut que je trouve que sur D cette fonction est une contraction.
    J´ai eu l´idée suivante: je sais qu´en dimension 1, on peut prendre le maximum de la valeur absolue de f´. Je n´ai pas trouvé le pendant en dimension n, mais peut-être qu´il existe?
    Si je calcule la matrice jacobienne, j´obtient:

    F´= (0, 2x_2/3, x_1/2 0). Il doit bien y avoir un moyen de calculer la norme de F´, ensuite de dire que cette norme est inférieure à 1, non?
    Ou existe-t-il un moyen plus rapide?

    Merci d´avance

    Christophe

    -----


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  3. #2
    Seirios

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    Bonjour,

    On peut montrer directement que est contractante :

    , donc est -lipschitzienne.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    Tu veux dire sûrement:
    Citation Envoyé par Seirios Voir le message

    Mais je ne vois toujours pas cette inégalité...

  5. #4
    Seirios

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    En fait j'ai oublié un carré dans mon calcul ; en le corrigeant, je trouve que F est 1-lispchitzienne, ce qui est un peu plus faible que contractante.

    Cela dit, mon 1/4 ne me semble pas devoir être remplacé par 1/9, à moins qu'il y ait une faute de frappe dans ton énoncé ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    ...à moins qu'il y ait une faute de frappe dans ton énoncé ?
    Ah oui effectivement, tu as raison, il fallait lire:

    F(x_1,x_2) = (1/3.x_2^2 + 1/8, 1/4.x_1^2 - 1/6)

    Ceci dit, le problème reste le même.

    Mon idée était de généraliser à une dimension quelconque la méthode en dimension 1, pour trouver le facteur de contraction q quand la fonction est différentiable:

    q = max_{x in [a,b]} abs(f´(x))

    Si on prend la matrice Jacobienne J, elle dépend de x évidement, puis on prend la norme matricielle la plus grande pour x dans le disque.

    On a le droit de faire cela?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    Dans ce cas je peux corriger ma preuve :





    D'où , donc est -lipschitzienne et en particulier contractante.

    Sinon, pour répondre à ta question, il existe effectivement une inégalité des accroissements finis en dimensions supérieures à un, voir ici par exemple. Je trouve d'ailleurs le même résultat avec cette méthode.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : théorème du point fixe en dimension n

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Dans ce cas je peux corriger ma preuve :





    D'où , donc est -lipschitzienne et en particulier contractante.

    Sinon, pour répondre à ta question, il existe effectivement une inégalité des accroissements finis en dimensions supérieures à un, voir ici par exemple. Je trouve d'ailleurs le même résultat avec cette méthode.

    Ahhh!! Super! Merci bien! C´est le genre de solution où on se demande à la seconde où on la lit, pourquoi on n´y a pas pensé soit-même. Je vais de ce pas voir la solution avec les dérivées. Merci bien pour le link.

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