théorème du point fixe en dimension n

[invitee75a2d43]

bonjour, j ai un exo, où il faut que j´utilise le théorème du point fixe, où il faut d´abord que je prouve que ce théorème s´applique, en dimension 2:

F : IR^2 -> IR^2

F(x_1,x_2) = (1/2.x_2^2 + 1/8, 1/4.x_1^2 - 1/6)

Il faut montrer qu´il y a un point fixe dans D = disque fermé de rayon 1.

Bon. Je sais bien appliquer le théorème en dim 1, mais je m´apercois que dans la pratique, en dimension n, je sais pas trop. Il faut que je trouve que sur D cette fonction est une contraction.
J´ai eu l´idée suivante: je sais qu´en dimension 1, on peut prendre le maximum de la valeur absolue de f´. Je n´ai pas trouvé le pendant en dimension n, mais peut-être qu´il existe?
Si je calcule la matrice jacobienne, j´obtient:

F´= (0, 2x_2/3, x_1/2 0). Il doit bien y avoir un moyen de calculer la norme de F´, ensuite de dire que cette norme est inférieure à 1, non?
Ou existe-t-il un moyen plus rapide?

Merci d´avance

Christophe
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[Seirios]

Bonjour,

On peut montrer directement que est contractante :

, donc est -lipschitzienne.

[invitee75a2d43]

Tu veux dire sûrement:

Mais je ne vois toujours pas cette inégalité...

[Seirios]

En fait j'ai oublié un carré dans mon calcul ; en le corrigeant, je trouve que F est 1-lispchitzienne, ce qui est un peu plus faible que contractante.

Cela dit, mon 1/4 ne me semble pas devoir être remplacé par 1/9, à moins qu'il y ait une faute de frappe dans ton énoncé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

...à moins qu'il y ait une faute de frappe dans ton énoncé ?

Ah oui effectivement, tu as raison, il fallait lire:

F(x_1,x_2) = (1/3.x_2^2 + 1/8, 1/4.x_1^2 - 1/6)

Ceci dit, le problème reste le même.

Mon idée était de généraliser à une dimension quelconque la méthode en dimension 1, pour trouver le facteur de contraction q quand la fonction est différentiable:

q = max_{x in [a,b]} abs(f´(x))

Si on prend la matrice Jacobienne J, elle dépend de x évidement, puis on prend la norme matricielle la plus grande pour x dans le disque.

On a le droit de faire cela?

[Seirios]

Dans ce cas je peux corriger ma preuve :





D'où , donc est -lipschitzienne et en particulier contractante.

Sinon, pour répondre à ta question, il existe effectivement une inégalité des accroissements finis en dimensions supérieures à un, voir ici par exemple. Je trouve d'ailleurs le même résultat avec cette méthode.

[invitee75a2d43]

Dans ce cas je peux corriger ma preuve :





D'où , donc est -lipschitzienne et en particulier contractante.

Sinon, pour répondre à ta question, il existe effectivement une inégalité des accroissements finis en dimensions supérieures à un, voir ici par exemple. Je trouve d'ailleurs le même résultat avec cette méthode.

Ahhh!! Super! Merci bien! C´est le genre de solution où on se demande à la seconde où on la lit, pourquoi on n´y a pas pensé soit-même. Je vais de ce pas voir la solution avec les dérivées. Merci bien pour le link.