Introduction au théorème du point fixe
Re-bonsoir ^^,
J'ai cette fois un exercice introduisant le théorème du point fixe (celui de Brouwer dans le plan donc(spéciale dédicasse S321)). L'exercice demande d'abord de montrer, pour une fonction f : [a;b] -> [a;b] continue, que la fonction g(x) = x - f(x) prends des valeurs positives et négatives, pour ensuite déduire qu'elle s'annule au moins une fois et finalement arriver au théorème. Par surprise, je suis tombé sur un petit passage intéressant de wikipedia (le lien
"Une démonstration n'est pas difficile à établir. Considérons la fonction continue g définie par :
g(x)= f(x) -x .
Elle est positive en a, négative en b. Le Théorème de Bolzano, cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires assure que la fonction g possède un zéro dans [a, b]. Ce zéro de g est un point fixe de f."
Mais je ne comprends pas pourquoi g(x) prends des valeurs positives et négatives...
Vous pourriez m'expliquer pourquoi?
Merci d'avance!
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