formule des accroissments finis

[invite29d644e5]

Bonsoir,

soient x,y,z : [a,b] -> R continues sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
on sait qu'on peut trouver c appartenant à ]a,b[ tel que :

determinant de la matrice
( x'(c) y'(c) z'(c) )
( x(a) y(a) z(a) )
( x(b) y(b) z(b) )
soit egale a 0

en utlisant ceci on veut montrer :

si f,g : [a,b] -> R continues sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ et si g'(t) est different de 0 pour tout t appartenant à ]a,b[, alors on peut trouver c appartenant à ]a,b[ tel que

(f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c)


Soit k une contante :

je calcule le deteminant de :

( f'(c) g'(c) 0 )
( f(a) g(a) k ) = 0
( f(b) g(b) k )

j'obtiens :

f'(c) * (g(a) * k - g(b) * k) - g'(c) * ( k * f(a) - k * f(b)) = 0
f'(c) * (g(a) * k - g(b) * k) = g'(c) * ( k * f(a) - k * f(b))
k * [ f'(c) * (g(a) - g(b) ) ] = k * [ g'(c) * ( f(a) - f(b)) ]
[ f'(c) * (g(a) - g(b) ) ] = [ g'(c) * ( f(a) - f(b)) ]
[ f'(c) * (g(b) - g(a) ) ] = [ g'(c) * ( f(b) - f(a)) ]

Pour tout t appartenant à ]a,b[, g'(t) est différent de 0, donc g(b) - g(a) est différent de 0

Donc,

(f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c)

Merci de votre aide
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[invite51d17075]

Pour tout t appartenant à ]a,b[, g'(t) est différent de 0, donc g(b) - g(a) est différent de 0

certes, mais il faut une petite ligne pour le démontrer proprement.

[invite29d644e5]

C est par rapport à ceci : Pour tout t appartenant à ]a,b[, g'(t) est différent de 0, donc g(b) - g(a) est différent de 0

[invite51d17075]

je serais ton prof, j'attendrais un truc plus explicite du genre:
si g(a)=g(b) alors
ou g est constante ( impossible car g'(x) diff de 0 pout tout x)
ou g n'est pas constante mais admet forcement un extremum entre a et b (g continue) donc il existe un point x ou g'(x) =0

mais ta phrase lui suffira peut être.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite29d644e5]

sur mon brouillon j'avais mis : si g(a) = g(b) alors il existe c appartenant à ]a,b[, g'(c)=0 contradiction
donc g(b)-g(a) different de 0

[invite51d17075]

oui, justifié par le théorème des accroissements finis, mais j'avais zappé le titre de ton fil.
c'est ce que je voulais dire, mais c'était implicite pour toi, je le comprend maintenant.
ps : garde la phrase du brouillon, c'est plus clair et montre que tu as bien compris le truc.