Intégration et fonction périodique

[invite4c80defd]

Bonsoir à tous,
je vous contacte ce soir car j'aurais besoin de conseils sur un de mes exos.
on a u(t) une fonction de R+ dans R, continue et T-périodique
Il s'agit de montrer que l'intégrale de 0 à +infini de exp(-pt*u(t))dt converge et il faut calculer sa valeur en fonction de l'intégrale de 0 à T de exp(-pt)*(u(t))dt.

je sais que si une fonction f est T-périodique, f(t+T)=f(t), donc ici u(t+T)=u(t), donc je peux bien éventuellement remplacer u(t) par u(t+T), mais je ne suis pas plus avancé si ? car on ne connait pas u(t) ...

Quelqu'un voit-il comment résoudre cet exercice ?


Merci pour vos suggestions.
-----

[gg0]

Bonjour.

Sur [0;T], ta fonction continue est bornée, donc elle l'est globalement, ce qui permet de montrer que l'intégrale converge absolument.
Ensuite, on décompose l'intégrale en une série d'intégrales, période par période; Puis après avoir utilisé la périodicité (changement de variable), on se ramène à l'intervalle [0;T].

Bon calcul !

[invite4c80defd]

je voudrais être le plus sur possible de ma démonstration.
Je prend [0;T]. Je montre que la fonction est continue, (donc localement intégrable je suppose) et qu'elle est bornée.
pour borner la fonction , puis-je écrire que f=exp(-pt)*u(t) est supérieure à 1/exp(pt) ?
de meme si elle est inférieure à u(t) ? car j'ai des doutes avec u(t) de R+ dans R ....
si j'ai montré qu'elle est bornée est continue, est-ce suffisant pour dire qu'elle est Abs. convergente ?

[invite4c80defd]

euh ..pardon je me suis trompé.
je recommence:
Je prend [0;T]. Je montre que la fonction est continue, (donc localement intégrable je suppose) et qu'elle est bornée.
pour borner la fonction , puis-je écrire que le module de f=exp(-pt)*u(t) est inférieur au module de u(t) ?

si j'ai montré qu'elle est bornée est continue, est-ce suffisant pour dire qu'elle est Abs. convergente ? car je n'ai jamais utilis le fait qu'une fonction soit bornée pour montrer une convergence.

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Théorème :
Une fonction continue sur un intervalle [a;b] (avec a<=b) y est bornée.

Pour la convergence, utiliser un théorème de comparaison ...

Il s'agit de techniques classiques, supposées acquises à ce niveau.

Cordialement.

[gg0]

Allez, je détaille :

Une fois montré que u est bornée sur [0,T], on en déduit qu'elle a les mêmes bornes sur [T,2T], ...[nT,(n+1)T] ... (par récurrence, puis sur [-T,0],[-2T,-T],... donc qu'elle est bornée sur . Donc il existe un réel M tel que, pour tout réel t, |u(t)|<M
Donc |u(t)exp(-pt|<Mexp(-pt) et est convergente pour p>0 (ou Re(p)>0 si p est un complexe).

Ensuite, c'est un autre calcul, puisque la convergence est assurée.

NB : J'espère que p>0 est donné dans l'énoncé, sinon c'est faux : regarde pour p=0.

[invite4c80defd]

ok merc beaucoup pour cette déonstration qui m'a été très utile.
C'est bon pour la convergence.
j'ai quelques soucis pour la valeur:
vous m'aviez dit "après avoir utilisé la périodicité (changement de variable), on se ramène à l'intervalle [0;T]".
j'avais une idée:
intégrale de 0 à + infini de(exp(-pt)*u(t)) = intégrale de 0 à T + intégrale de T à 2T+......+intégrale de nT à (n+1)T = n*intégrale de 0 à T mais ce n'est qu'une idée qui est peut etre fausse...
quel est le changement de variable dont vous parliez ?

Merci d'avance

[gg0]

Sois précis :

et ensuite, on utilise un changement de variable évident pour se ramener à la première période puis la périodicité.

Au fait, comment sait-on que la série du second membre converge ?

Cordialement.

NB : Ton "= n*intégrale de 0 à T" montre que tu n'as pas réfléchi, seulement dit ce qui t'arrangerait pour ne pas calculer. Tu crois vraiment que les intégrales sur les diverses périodes sont égales ? Avec une exponentielle décroissante qui tend très rapidement vers 0 ??

[invite4c80defd]

je ne suis pas sur de ma réponse mais si on pose x=nT, alors (n+1)T= x+T, on se rapprocherait déjà de la forme de la premiere période non ?

[gg0]

Je ne comprends pas !

Voyons, tu ne vas pas me faire faire ton exercice, c'est à toi de penser un peu ! Tu veux te ramener à une intégrale sur [0,T], un changement de variable évident le fait. Et après, la périodicité te donne ce que tu veux ...
Utilise tes petites cellules grises, au lieu de demander "c'est ça" après la première idée qui te vient. Utilise-les pour comprendre ce que tu veux obtenir, et mener le calcul jusqu'au bout ....

Mais si tu ne veux pas suivre mes conseils ...

[invite4c80defd]

si je me ramener a la première intégrale, je prend n=0 et voila ! ça c'était la premiere idée qui m'est passé par la tête...et elle est idiote ...
mais je vous avoue que je ne vois de changement de variable intelligent ....

[invite4c80defd]

quelqu'un aurait-il une idée sur le changement de variable à effectuer pour résoudre l'égalité du message n°8 ?

[invite4c80defd]

l'intégrale de nT à (n+1)T se décompose en intégrales de 0 à T + de T à 2T + de 2T à 3T +......+ de nT à (n+1)

or une intégrale de a+T à b+T est égale à une intégrale de a à b (on enleve tant que fois que possible T aux deux bornes ) non ?
donc, pour : intégrale de 0 à T + de T à 2T + de 2T à 3T +......+ de nT à (n+1), on peut se ramener à chaque fois de 0 à T ,
on aurait alors intégrale de 0 àT + intégrale de 0 à T + intégrale de 0 à T + intégrale de 0 à T +.....et cela n fois non ?
et donc n*(intégrales de 0 à T)

c'était mon idée que j'ai soit-disant balancer sans réfléchir mais vous voyez bien que j'ai essayé une petite réflexion, meme si celle-ci est fausse.....

[gg0]

Bon, je commence à me poser des questions sur ton niveau :
Tu es étudiant en BTS commercial ? en première année de DUT ?

Car des énormités comme "on enleve tant que fois que possible T aux deux bornes" est assez inquiétante si tu as fait une L1, une première année de prépa ou une année d'école d'ingénieurs post-bac ("prépa intégrée).
A croire que tu confonds calculer (appliquer des règles et des théorèmes) et user de magie.

Tu est quand même assez intelligent pour revoir tes cours sur le changement de variable, regarder ce qui se passe quand on en fait un, et choisir un changement très simple qui fera que les bornes nT et (n+1)T=nT+T deviendront 0 et T, et que dans la fonction u, la périodicité sera utilisable. Je viens de te donner un indice sur le changement de variable, fais un effort de pensée; et cherche un changement de variable

Le fait d'avoir eu une idée qui n'est pas un calcul n'est pas à porter à ton crédit, des idées inutiles, n'importe qui peut en avoir.

[invite4c80defd]

j'ai eu cette idée d'après la proposition 2 de la page du doc : http://melusine.eu.org/syracuse/imma...analyse/04.pdf

[gg0]

f n'est pas périodique !!!
Ce n'est pas u qu'on intègre !

C'est bien toi qui as posé ce sujet ?

Et si tu avais lu non seulement le théorème (qui ressemble) mais aussi sa démonstration, tu saurais faire

[invite4c80defd]

ah oui c'est vrai j'ai confondu ....
mais du coup , comme ce n'est pas f qui est T-périodique, alors, la démo dont vous parliez ne sert à rien , si ?

[gg0]

Tu as le droit d'être intelligent ...essaie.

Au fait, de quelle démo parlais-je ?

[invite4c80defd]

celle du doc dont j'ai mis le lien, mais ne cherchez pas je suis trop bête....

[gg0]

En prenant x=t-nT :

Là, on y est presque, je te laisse finir ....

mais reconnais que le changement de variable est particulièrement simple.

[invite4c80defd]

j'avais essayé avec x=t+nT...mais je me rend compte que le votre est tout à fait adapté par rapport au mien ....
je vais essayer de continuer.

[invite4c80defd]

l'énoncé dit de calculer la valeur de l'intégrale en fonction de l'intégrale de 0 à T de exp(-pt)*u(t).
il s'agirait donc de faire apparaître cette expression.
on a intégrale de 0 à T de exp(-pt-nT))*u(t)dt= intégrale de 0 à T de exp(-pt)*exp(-nT)*u(t)dt
or , on intègre par rapport à t, donc, je suppose que exp(nT) peut etre considéré comme constant.
on aurait alors (je me trompe peut etre mais j'essaye quand meme): exp(-nT)*intégrale de 0 à T de exp(-pt)*u(t)dt , on aurait alors trouvé un résultat éventuel ?

[gg0]

"je suppose que exp(nT) peut etre considéré comme constant" : Il n'y a pas à supposer. Soit ça dépend de la variable d'intégration, soit non.
"on aurait alors trouvé un résultat éventuel" ? un petit bout du calcul seulement. Reprends le calcul où ça intervenait.

[invite4c80defd]

donc je remplace cela dans la somme. je sors l'intégrale qui ne dépend plus du "n" de la somme et il reste somme de 0 à +infini de exp(-nT) sauf erreur.
donc somme de 0 à +infini de exp(-nT)= somme des termes d'une série géométrique de raison 1/exp(T) et de premier terme 1.
on aurait alors pour résultat final (1-1/exp(T))* (intégrale de 0 à T de exp(-pt)*u(t)) ?

[gg0]

Je ne crois pas que ce soit le bon résultat final. Je sors pour la soirée.

[invite4c80defd]

d'où pourrait bien venir le probleme ?

[invite4c80defd]

En fait c'est bon, j'avais fait une erreur de calcul , le résultat est différent

Merci et bonne soirée