Propriété valeur principale et résidus

[coussin]

Bonjour,

Je rencontre une propriété (que je vais détailler) et je me demande si c'est une propriété connue ou simplement fortuite dans le cas qui m'intéresse. Je me demande si ça n'a pas un peu à voir avec le valeur principale de Cauchy (bien que ce n'est pas exactement ça…)

Alors, j'ai une fonction à valeurs complexes de la variable complexe . Supposons que ait un pole en , réel. Ma fonction est telle que existe. En d'autre terme, la singularité en provient exclusivement de .

Je trouve la propriété suivante : .

C'est une propriété un peu bizarre puisque ça relie une propriété de de C dans C à une propriété de qui est de R dans R...
Qu'en pensez-vous ? Est-ce une propriété connue par ailleurs ou bien fortuite dans mon cas ?

Merci d'avance
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[invite86150b1a]

Bonjour,
Je ne comprends pas, on ne peut pas parler de résidu, ou même de pôles, pour une fonction de C dans C quelconque, non ? Il faut que la fonction soit méromorphe, je crois. Ici votre fonction ne peut être méromorphe puisque sa partie imaginaire est singulière mais pas sa partie réelle.
Il semble y avoir un problème. Ce que vous dites n'a pas grand sens en l'etat, en tout cas pour moi.

[coussin]

Considérez .
a un pole en 0 et est méromorphe. Sa partie réelle (à f(z)) est régulière en x=0, sa partie imaginaire a une singularité en x=0.

J'ai trouvé une propriété que doit vérifier f(z) pour que ce que j'ai dit dans mon message #1 soit vrai. Ça ne me semble pas une propriété générale…

[invite86150b1a]

La partie réelle de f n'est pas régulière. Si t est un réel , qui est singulière en 0. Sa partie imaginaire est egalement singulière, par exemple parce que
Si f est méromorphe en 0, elle s'ecrit , avec h non nulle en 0, et bornée au voisinage de 0, et si la partie réelle de f est singulière en 0, alors n>0, et sa partie imaginaire le sera aussi.
Du coup je comprend pas comment votre formule peut etre correcte, puisque est divergente et le residu de f en 0 vaut 1.

Quelle propriété supplémentaire demandez vous à f ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Il me semble que
(i) si est un Dirac (de toute façon nécessaire pour que le membre de gauche de l'équation de mon message #1 soit non nul)
(ii) et que et obéissent aux équations de Cauchy-Riemann (de toute façon nécessaire pour que soit méromorphe, non ?)
alors ça me semble bon…

[coussin]

La partie réelle de f n'est pas régulière. Si t est un réel , qui est singulière en 0. Sa partie imaginaire est egalement singulière, par exemple parce que

Je me suis planté entre partie réelle et imaginaire. Prenez

[invite86150b1a]

C'est pareil , qui tend vers l'infini en 0.
J'ai l'impression que vous demandez que la fonction d'une variable réelle, g(t)=Re(f(t)) soit régulière en 0.
Mais votre formule reste fausse. L'intégrale , et ca ne vaut pas pi, si?

[invite86150b1a]

Il me semble que
(i) si est un Dirac

Un Dirac n'est même pas une fonction. Vous ne pouvez pas faire comme si cela en était une. Je ne comprend pas le sens des objets que vous manipulez.
Soit vous vous placez dans le cadre des fonctions méromorphes et alors y a pas de notion de Dirac.
Soit vous vous placez dans le cadre des distributions sur C, mais alors vous n'avez plus de notion de méromorphie, de pôle ou de résidu.

[coussin]

Oui je sais… C'est la réponse que je reçois toujours sur ce forum Mathématiques

Dans mon cas, on peut considérer que , ça suffit pour la démonstration du message #1 je crois

[invite86150b1a]

A quel sens prenez vous votre limite ? Votre fonction c'est tout bêtement i/(z-x0). Votre formule me semble toujours fausse, car déjà votre intégrale est divergente.
Peut être vaudrait il mieux poser votre question sur le forum de physique ?
Si vos objets ne sont pas bien défini, on ne peut malheureusement même pas commencer à envisager une démonstration.

[coussin]

Oui, en fait faut prendre la limite eta tend vers 0 seulement après avoir pris le résidu et fait l'intégration

[invite86150b1a]

Dans ce cas c'est une limite au sens des distributions, et de même vous sortez de cadre des fonctions méromorphes.
Je ne suis pas compétent pour répondre à votre question, je n'arrive même pas a la traduire en maths propres, je préfère laisser la main.

[albanxiii]

Bonjour,

Il y a le truc classique de Feynman, qui consiste à introduire un facteur pour faire converger une intégrale. On écrit et on sait que cette dernière expression est égale à . Les mathématiciens parlent de la distribution .

En théorie quantique des champs, le même genre de dénominateur intervient dans le propagateur du champ scalaire, et le calcul de l'intégrale fait intervenir des fonctions de Bessel. Voir l'équation 2.149 de ce document, par exemple http://books.google.fr/books?id=2CP-...alaire&f=false

J'espère ne pas être trop hors-sujet...

@+

[coussin]

C'est pas du tout hors sujet. Merci

[coussin]

C'est même plus ou moins dans le mille ce qui me manquait
http://en.wikipedia.org/wiki/Sokhots...lemelj_theorem