Calcul de la valeur principale de Cauchy d'une fonction

[invitebcf01859]

Bonjour,

je dois calculer l'intégrale suivante : .

avec , constantes positives et signifie que l'on prend la valeur principale de Cauchy de cette intégrale. En effet, on se rend vite compte que la fonction à intégrer n'est pas définie en .

En utilisant Matlab, on obtient numériquement des résultats. Mais je pense qu'une forme analytique existe ce qui m'arrangerai car je dois souvent utiliser cette intégrale dans un code en C++.

J'ai donc essayé de l'intégrer de plusieurs manières mais sans réussite pour le moment. Je pense qu'en utilisant le théorème des résidus, on doit arriver à quelquechose bien que la fonction ne soit pas .

Si vous avez une suggestion, je suis preneur.

Merci d'avance
-----

[inviteb9d96a33]

Je ne suis pas expert en analyse complexe, mais l'hypothèse n'est pas necessaire que je sache pour appliquer le théorème des résidus ?

[invitebcf01859]

Non, en effet, il n'est pas nécessaire que la fonction à intégrer soit .
Si l'on pose

et
Alors il est nécessaire si l'on souhaite utiliser le théorème des résidus que la fonction soit holomorphe (d'après Wikipedia) c'est-à-dire continue et dérivable dans ce qui n'est pas le cas de à cause de la valeur absolue dans l'exponentielle.
Par contre, dans et dans , est continue et dérivable. Alors est-ce qu'il est nécessaire d'appliquer le théorème des résidus dans chaque ouvert séparemment. J'ai essayé mais cela devient vite hardu...

[invitebcf01859]

Toujours pas d'idées? Y'a peut-être tout simplement pas de solution analytique...

[A voir en vidéo sur Futura]