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Intégrale en partie principale de Cauchy?



  1. #1
    evariste_galois

    Intégrale en partie principale de Cauchy?


    ------

    Salut,

    Je suis tombé sur une notion "étrange" dans un bouquin de mathématiques pour physicien: l'intégrale en partie principale de Cauchy. Sous ce nom barbare se cache une notion permettant, du moins c'est ce que j'ai compris, de donner un sens à une intégrale du type int(-1..+1, dx/x) ! Selon ce bouquin, l'aire algébrique comprise entre le graphe de y=1/x et l'axe des x est nulle, ce qui permet d'écrire int(-1..+1, dx/x)=0 .

    L'explication vient du fait que si on pose K(A)=int(-1..+1, dx/x)=int(-1..-A, dx/x)+int(+A..+1, dx/x), on K(A)=ln(A)-0+0-ln(A) , l'expression tend vers 0 quand A tend vers 0.

    C'est une notion intuitive, qui revient d'ailleurs assez souvent dans les remarques des étudiants lorsqu'on leur dit que int(-infini..+infini, cos(x) dx) n'est pas défini. Certains prétendent que cette intégrale vaut 0.
    D'ailleurs, dans le bouquin, toujours lui, on pose par définition
    int(-infini..+infini, f(x) dx)=lim (A->+oo) int(-A..+A, f(x) dx).

    Rigoureusement, j'écrirais plutôt
    int(-infini..+infini, f(x) dx)=lim (A->+oo,B->+oo ) int(-B..+A, f(x) dx) .


    Alors, quel crédit accorder à cette intégrale en partie principale?

    Merci pour toute explication, et si vous avez un bon lien web sur le sujet, ça m'intéresse .

    -----
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Salut,

    à ce sujet, tu peux regarder ici: la notion de partie principale de Cauchy (Cauchy principal value dans la langue de Shakespeare) est utile aussi en mathématique et permet de définir une intégrale a priori divergente.

    Ceci étant, il me semble que celà ne concerne que les intégrales autour d'une singularité (comme la fonction x→1/x sur [-1, 1]): du coup je ne crois pas que l'on puisse donner un sens à l'intégrale (d'ailleurs les limites que tu mentionnes n'existent pas).

    Cordialement.

  4. #3
    Rincevent

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    salut,

    Citation Envoyé par martini_bird
    Ceci étant, il me semble que celà ne concerne que les intégrales autour d'une singularité
    soit je t'ai mal compris, soit il me semble que le lien que tu donnes te contredit....

    du coup je ne crois pas que l'on puisse donner un sens à l'intégrale
    pour ce cas précis le problème est différent et lié au fait que ta fonction n'a pas de limite (finie ou non). Si la fonction admet une limite (sur une singularité située à "distance" finie ou non), alors on peut calculer la valeur principale. En fait, dans le cas de limite à l'infini, tu peux voir ça comme une intégration sur la fermeture de R avec singularité sur le bord.

    autre argument plus simple : avec un changement de variable tu peux toujours ramèner une singularité à l'infini en un point d'abscisse finie pour lequel la procédure fonctionne. Il est donc logique qu'elle fonctionne même avec singularité à l'infini.

    enfin, têt que par singularité tu voulais pas dire "un point d'abscisse finie" et que j'ai raconté tout ça pour rien

  5. #4
    evariste_galois

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Oui, je me suis largement embrouillé, int(-infini..+infini, cos(x) dx) n'est pas défini au sens de Cauchy. Mille excuses.

    En tout cas merci pour le lien Martini.

    Au passage, que veut dire Singularité? Je sais que cette notion a un rapport avec les fonctions d'une variable complexe, mais je ne l'ai pas encore étudié. Non, parce que vous utilisez ce terme à foison, et moi je me sens un peu perdu soudainement .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Nous sommes d'accord.

    J'ai voulu souligner (maladroitement, j'en conviens) le fait que l'intégrale n'a pas de sens.
    Mais en effet, la partie principale de Cauchy permet de définir par exemple l'intégrale , où la singularité est "à l'infini".

    Merci.

    Edit: Croisement.

  8. #6
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Au passage, que veut dire Singularité? Je sais que cette notion a un rapport avec les fonctions d'une variable complexe, mais je ne l'ai pas encore étudié. Non, parce que vous utilisez ce terme à foison, et moi je me sens un peu perdu soudainement .
    Une singularité est simplement un point où "ça se passe mal".

    Rigoureusement, c'est un point isolé (au sens topologique du terme) en lequel la fonction n'est pas définie.

    Il y en a de trois types (sur C donc sur R): les singularités artificielles, i.e. on peut prolonger la fonction par continuité; les pôles (singularités en a du type 1/(z-a)n) très utiles dans une méthode de calcul intégrale appelée calcul des résidus; et les singularités essentielles comme pour la fonction x→exp 1/x en 0.

    Cordialement.

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  10. #7
    Quinto

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Salut Martini Bird,
    en fait il n'y a pas de raison que la singularité soit isolée je pense.
    Par exemple le log "classique" admet la demi droite réelle négative pour singularité, ce qui est clairement non isolée.

    Celà étant je suis très content que ce post ce soir ouvert et qu'il dévie parce que justement je voulais ouvrir un nouveau fil à ce sujet, quel heureux hasard:
    Martini Bird vient d'énoncer les 3 différentes singularités isolées qui existent, les artificielles, les pôles, les essentielles.
    Je me demandais si justement on pouvait classifier les non isolées.
    De même, je pense avoir déjà vu ca quelque part, mais sur la sphère de Riemann, on peut considérer le pôle nord comme un point "normal", notamment est ce que la formule de Cauchy s'y applique encore?
    J'ai l'impression que l'on ne peut pas "entourer" l'infini, est ce que je me trompe?
    Parce que l'on peut prolonger la notion de singularité à toute la sphère, peut on s'en servir pour calculer des intégrales de contour? Est ce que l'on peut prolonger la notion de résidus à toute la sphère (donc en l'infini)? Peut on jouer avec l'infini aussi facilement qu'avec les autres singularités?

    Merci,
    A+

  11. #8
    Quinto

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Après reflexion, ca me semble évident que c'est pas possible, parce que pour tout courbe fermée qui ne passe pas par l'infini, on divise la sphère en 2 parties connexes, dont l'une ou l'autre entoure l'infini.
    Notamment la courbe entoure l'infini, et ce pour toute courbe.
    Mais les autres questions subsistent
    A+

  12. #9
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Salut,

    dans le cas du log, je crois que l'on parle plutôt de coupure, mais bon.

    Surtout, ce n'est pas le même phénomène, car il n'y a pas de développement en série de Laurent possible. La définition du log (ou de fonctions apparentées) dans C se heurte à la détermination de l'argument, et on peut surmonter le problème en choisissant la surface de Riemann associée (recouvrement au dessus de C): la fonction peut être rendu univoque sauf en quelques points dits de ramifications (0 pour le log).

    Sinon, pour "entourer l'infini" et éventuellement utiliser Cauchy, il suffit d'écrire: avec un petit cercle autour de 0.

    Cordialement.

  13. #10
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Citation Envoyé par Quinto
    Après reflexion, ca me semble évident que c'est pas possible, parce que pour tout courbe fermée qui ne passe pas par l'infini, on divise la sphère en 2 parties connexes, dont l'une ou l'autre entoure l'infini.
    Notamment la courbe entoure l'infini, et ce pour toute courbe.
    Mais les autres questions subsistent
    A+
    Précision: il faut prendre la somme des résidus à l'intérieur du lacet, à moins de changer le signe devant (le lacet est pris dans le sens négatif est l'intérieur devient l'extérieur).

    Bon par exemple, c'est exactement ce fait Riemann quand il calcule

    le contour de l'intégrale étant celui-ci et la somme s'étendant sur les n relatifs non nuls, correspondant aux singularités.

  14. #11
    Quinto

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Salut,
    merci pour ces réponses.
    J'ai toujours appris qu'il y'avait deux types de singularités:
    les isolées, les autres.
    Pour les isolées, par définition on peut y centrer une boule de rayon arbitrairement petit et qui ne contient aucun autre point isolé, ainsi on peut appliquer le théorème de Laurent.
    Enfin on ne va pas se battre sur les définitions, on a compris le principe
    Mais justement, dans le cas d'une coupure/singularité non isolée, (mettons le log) ne peut on pas déterminer une sorte d'analogue à la formule de Laurent, au moins suivant certaines directions? Je ne me rappelle plus de la démonstration de la formule de Laurent (je crois qu'elle est relativement similaire à celle de Taylor), alors où intervient précisemment le caractère isolé de la singularité?
    Amicalement,
    Quinto
    ps: n'y a t'il pas un i en trop dans la formule de Riemann?

  15. #12
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Pour écrire le développement de Laurent, tu as besoin d'une couronne sur laquelle la fonction est définie. Pour le log, c'est partout possible grâce au prolongement analytique, sauf en 0.

    En fait, c'est précisément le prolongement analytique qui permet d'imaginer la surface de Riemann associée: de proche en proche on peut trouver des ouverts sur lesquels la fonction est bien définie (je reviens avec un dessin).

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Voilà un (joli) dessin la figure du dessus représente la détermination principale (dans ]-pi, pi]) de l'argument de x+iy. On peut imaginer que la détermination principale du log est définie sur cette surface: on voit clairement qu'il y a une coupure sur l'axe ]-oo, 0].

    En choisissant l'argument dans ]0, 2Pi], la surface est celle représentée sur la deuxième figure: le problème en ]-oo, 0] se retrouve alors en [0, +oo[, mais on a pu prolonger par continuité le logarithme, en "collant" les deux surfaces considérées.

    Je disais que l'on peut prolonger de proche en proche à l'aide d'ouverts: la ligne bleue représente une trajectoire possible des "centres" de ces ouverts (disons des dsques). On s'aperçoit simplement que pour -i par exemple, l'argument dans le premier cas est et dans le second cas. Mais puisque -i correspond à deux points différents sur la surface, on a bien une fonction univoque!

    En d'autres termes, on a un revêtement dont la projection est l'exponentielle, c'est à dire que localement au-dessus d'un point, la surface de Riemann est une pile .

    Autre remarque: on voit bien que l'image réciproque du cercle unité est une hélice.

    Voir le cours de M. Audin pour des explications et des dessins plus clairs.
    Images attachées Images attachées  

  18. #14
    Quinto

    Re : Intégrale en partie principale de Cauchy?

    Salut,
    merci pour ces réponses, je ne suis pas un crack en revêtements, alors je vais prendre mon temps.
    A+

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