créer un polygone a partir d'une ellipse

[invite241f5934]

Bonjour je suis nouveau sur ce forum. Pour un projet en java, j'ai besoin de créer un polygone a partir d'une ellipse. J'ai fait le petit dessin ci dessous :



Ce qui m'interesse en fait c'est d'avoir la position (x,y) des points en jaune (l'origine etant le centre de l'ellipse) en fonction du de la hauteur et de la largeur de l'ellipse et du nombre de point désiré. Tous les cotés bleus du polygone etant de longueur egale (pas très précis sur le dessin)

Ce n'est pas la programation qui me pose probleme mais plutot la méthode mathématique à utiliser. J'ai beau en chercher une, je ne trouve pas.

Sur un cercle ce n'est pas très difficile mais des qu'on passe sur une ellipse je suis un peu dépassé. Si quelqu'un pouvait m'indiquer une méthode ou au moins des pistes, ce serait super cool. Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Avec le dessin que tu as fait (8 côtés répartis de manière bien symétrique), c'est assez simple, car il n'y a qu'une inconnue (la position du point "de biais").
On part de l'équation paramétrique de l'ellipse :
x = a cos(@) ; y = b sin(@)
et on trouve assez facilement que :
a² (1 - cos(@))² + b² sin²(@) = a² cos²(@) + b² (1 - sin(@))²
d'où une équation du type A cos(@) + B sin(@) + C = 0
qui se résout par exemple en posant t = tan (@/2). Toujours une solution si A² + B² >= C², ce qui est le cas.

Si les points ne sont pas répartis aussi simplement, ça peut devenir corsé (autant d'inconnus que de points - 1, donc un système d'équations non linéaires peu engageant).

[invite241f5934]

Merci, c'est nickel dans le cas ou j'ai juste 8 points mais en fait le truc c'est que je peux en avoir bien plus, donc en fait je recherche une généralisation pour beaucoup plus de points.

En fait les points sont simplement repartis : il y a toujours les 4 points qui sont sur les axes et ensuite les points "en biais" comme tu dis. Le nombre de points sera donc toujours un multiple de 4 et le polygone sera toujours symétrique par rapport a l'origine et aux axes.

Pour 12 points il y aura 2 equations donc trouvable egalement mais si le nombre de point augmente, il me faudrai une équation générale avec autant d'inconnues que de point dans un quart de plan a trouver. Théoriquement je devrais pouvoir faire tendre le nombre de points vers l'infini pour retrouver une ellipse.

En tout cas merci pour ta réponse, je vais déjà coder çà et essayer d'avancer.

[invite241f5934]

Bon j'ai esayé de résoudre l'équation pour simplement 8 points qui dans sa forme est simple mais qui en fait prend des pages de calculs. Alors est ce que j'ai fait une erreur ou alors est ce si compliqué de calculer la position de ce point.

J'ai l'équation suivante :
2a²cos@ - 2b²sin@ + b² - a² = 0
ce qui semble assez sympathique a ce niveau.

Je pose donc t=tan(@/2) comme tu me l'a conseillé, on a alors
cos@=(1-t²)/(1+t²) et sin@=2t/(1+t²) (c'est bien ca ?)

et la on arrive à une polynome immangeable avec un discriminent pas top : 12a^4 + 12b^4 + 8a²b² donc toujours structement positif. Alors pourquoi y a t'il deux solutions alors que les contraintes en imposent clairement qu'une seule ?

J'ai pas été jusqu'au bout parceque je ne suis pas sur de mes réponses. J'ai essayé également avec un système d'équation linéaire en utilisant l'équation cartésienne d'une ellipse plutot que la paramétrique pour faire sauter le changement de variable et toujours deux solutions très galères a calculer.

Quelqu'un peut me dire si j'ai fait une erreur quelque part ? ca fait tellement longtemps que j'ai pas fait de math que je galère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Je crois que tout ça est correct. Le fait d'introduire tg(@/2) fait monter le degré et introduit une solution parasite.
Si tu préfères, il existe une autre méthode peut-être plus simple quoique tout aussi classique.
L'équation donnant @ est :
2 a² cos(@) - 2 b² sin(@) +(b²-a²) = O
On vérifie bien que si b=a alors @ = pi/4 . OK.

On pose alors tg(phi) = b²/a² et on va trouver :
2 cos(@) - tg(phi)*sin(@) + (tg(phi)-1)=0
En multipliant par cos(phi), il vient :
2 cos (@ + phi) + cos(phi)*(tg(phi) - 1) =0
Soit à la fin :
2 cos(@ + phi) - (sin(phi) - cos(phi)) =0
Et là c'est assez simple de s'en sortir.
Si a = b alors phi = pi/4 et on trouve @ + pi/4 = +- pi/2 à 2 pi près
La solution parasite est toujours là mais ça doit se gérer.

[martini_bird]

Salut,

je lance une idée comme ça et je ne suis pas certain que celà te convienne...

En connaissant (éventuellement après calcul) le rapport de l'affinité orthogonale qui transforme un cercle en l'ellipse, les points cherchés seront les images par cette affinité des sommets d'un polygone inscrit dans le cercle (et dont les coordonnées se calculent facilement).

Si ton ellipse admet pour axe focal l'axe des abscisses, celà me semble une solution simple. Sinon, c'est sûr que c'est plus délicat (il faut aussi déterminer la droite).

Cordialement.

[invite241f5934]

Le rapport de l'affinité orthogonale est bien le rapport b/a ? Si c'est cela est bien il me semble que ta solution ne fonctionne pas.

La projection par l'affinité orthogonal d'un point du cercle circonscrit a l'ellipse definissant un des quatre sommets d'un octogone régulier autres que ceux des axes ne sera pas un sommet de l'octogone régulier inscrit dans l'ellipse. Pour s'en rendre compte il suffit de faire un croquis a la main avec une ellipse particulièrement applatie.

Enfin j'ai peut etre mal compris ?

Je vais essayer ta deuxième solution ce soir JeanPaul.

Merci a vous de m'aider en tout cas

[martini_bird]

Salut,

désolé, en effet, j'avais omis le fait que tu veux un polygone régulier.

[Jeanpaul]

Encore une autre façon de s'y prendre mais ça ne se généralise pas non plus. comme le point M de l'ellipse est équidistant de A et B (bouts des axes), M sera l'intersection de l'ellipse :
x²/a² + y²/b² = 1
et de la droite qui dit que MI est perpendiculaire à AB (I = milieu de AB) :
(x - a/2)*a - (y-b/2)*b = 0
On trouve assez facilement x et y, mais toujours une solution parasite (l'autre intersection)

[invite241f5934]

Merci !!! Cette solution me parait en effet beaucoup plus simple au niveau calcul. Et dire que j'ai meme pas pensé a utiliser les médiatrices pfff...

Enfin tu dis qu'on peut pas généraliser mais en fait si on peut faire un généralisation géométrique. En se basant sur l'équation générale de la médiatrice à un segment (disons AB) on a alors le système :

X²/a² + Y²/b² = 1
(X-Xa)² + (Y-Ya)² = (X-Xb)² + (Y-Yb)²

Une fois trouvée la solution (en espérant que les calculs ne prennent pas des pages), y a plus qu'a assigner A et B dans l'algo et de faire le calcul pour trouver tous les sommets. On commence par les 4 "secondaires" en se basant sur les 4 sommets des axes, puis ensuite on calcule les 8 autres... puis les 16...

Bon c'est une généralisation qui ne marche que pour un nombre de sommets puisance de 2 et non pas multiple de 4, ca enleve pas mal de cas mais bon c'est déjà çà et ca devrait le faire dans mon cas. Quoique j'aurais bien aimé 12 sommets également mais bon, on peut pas tout avoir...

Bon je me lance dans les calculs.
Merci beaucoup Jean Paul en tout cas !!!