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calcul d'une ellipse



  1. #1
    Latoupie

    calcul d'une ellipse


    ------

    Salut,

    je cherche à déterminer l' équation d'une ellipse à partir d'une série de points. Est-ce que quelqu'un aurait déjà fait quelquechose du genre?

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    doryphore

    Smile Re : calcul d'une ellipse

    Il faut se servir de l'équation générale d'une ellipse et déterminer les coefficients grace aux équations que tu obtients en remplacant les variables par les coordonnées des points...
    En tout cas, ca devrait marcher...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    zoup1

    Re : calcul d'une ellipse

    Citation Envoyé par Latoupie
    Salut,

    je cherche à déterminer l' équation d'une ellipse à partir d'une série de points. Est-ce que quelqu'un aurait déjà fait quelquechose du genre?

    Merci
    Tu parles de points qui sont éffectivement situés sur une ellipse ou tu cherches la meilleurs ellipse qui passe au plus près des points de mesure...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  5. #4
    moijdikssékool

    Re : calcul d'une ellipse

    à priori, puisqu'il faut 3 points non alignés pour avoir un cercle, il te faudrait au moins 4 points pour avoir une ellipse. mais en fait un contre-exemple à 4 points est très facile à trouver (suffit d'aligner 3 points)
    Donc, pour tracer une ellipse, et en la faisant passer par 3 points, il te faut aussi connaître la petite ou grande excentricité (je dis ou parceque l'autre excentricité sera déterminable par construction)

    on trouve un cercle passant par 3 points en le considérant comme circonscrit au triangle formé par les points (centre = intersection des médiatrices)

    une fois que tu as ton cercle, tu lui tapes dessus pour le déformer et obtenir l'ellipse que tu veux

    Mais si tu n'as pas dès le départ une des 2 excentricités, tu n'auras pas une équation d'ellipse mais une famille d'ellipses

    pour la trouver, mystère!

    mais une idée serait de partir du centre du cercle cité plus haut et de trouver "l'horizontale" sur laquelle se trouve les 2 centres des ellipses et dont le milieu est le centre du cercle. Tout le boulot consisterait en fait à chercher l'équation de cette droite. Peut-être même que le vecteur directeur de cette droite n'est pas fixe...

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : calcul d'une ellipse

    A mon avis, c'est un problème très difficile si les points ne sont pas rigoureusement sur une ellipse, pour 2 raisons :
    1- l'ellipse est décrite par 5 paramètres (par exemple, coordonnées du centre,inclinaison du grand axe, grand axe et petit axe ou bien position des 2 foyers et somme des distances aux foyers)
    2- il faut pouvoir définir une fonction erreur à savoir quantifier l'erreur commise : pour une ellipse trouvée, quelle erreur commet-on ? Cela peut se faire en calculant la distance de chaque point à l'ellipse mais comment ?

    Tu peux essayer une méthode de tâtonnements, éventuellement par le simplexe (qui n'est pas aussi simple que ça). Par exemple, essayer au hasard des positions de foyers F1 et F2 et calculer pour chaque point Mi la somme des distances F1Mi + F2Mi. Tu fais la moyenne des distances et tu calcules l'écart-type.
    Le meilleur choix de F1 et F2 est celui qui minimise l'écart-type. Ce qui revient à dire que l'écart-type des sommes des distances est la fonction erreur. C'est un choix arbitraire.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zoup1

    Re : calcul d'une ellipse

    Voilà un article qui propose une méthode pour ajuster des points sur une conique...

    http://www.bmva.ac.uk/bmvc/2004/papers/paper_083.pdf

    Cela vient de la discussion sur le fit d'une parabole....
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    moijdikssékool

    Re : calcul d'une ellipse

    Citation Envoyé par Zoup1
    http://www.bmva.ac.uk/bmvc/2004/papers/paper_083.pdf
    si l'ellipse doit passer au plus proche d'une série de X points, ce lien répond à ta question (bonne chance)

    si elle doit passer exactement par les points:

    Citation Envoyé par JeanPaul
    A mon avis, c'est un problème très difficile si les points ne sont pas rigoureusement sur une ellipse, pour 2 raisons :
    non
    il faut minimum trois points pour avoir une famille d'ellipse:

    prend 2 points, trace une ellipse qui passe par ces 2 points et fait la grossir ou rapetisser jusqu'à ce qu'elle atteigne le 3ème. Si t'y arrive pas trace l'ellipse en l'orientant différemment (le grand axe à la place du petit)

    Je propose la solution suivante: soit A, B, C trois points
    trace la médiane D a AB et considère cet axe comme le petit ou grand axe. Trace par exemple une ellipse passant par A et B et d'axe (petit ou grand) D. Si C n'est pas aligné avec A et B, tu peux trouver une ellipse d'axe D et passant par C

    Une fois que tu as la direction des petits et grands axes,tu peux projeter A, B et C sur ces derniers pour avoir leurs coordonnées (elliptiques) aux coordoonées du centre près
    Tu dois très certainement arriver à un système à X inconnes X équations

    J'ai pris la médiane à AB. Mais j'aurais pu prendre une autre droite. Suivant l'orientation et la position de cette droite, il est possible que le système obtenue soit insoluble

    En fait, à vue de nez, par 3 points non-alignés peut passer n'importe quelle ellipse (du moins pour n'importe quel rapport entre les 2 excentricités bien sûr)
    Dernière modification par moijdikssékool ; 18/02/2005 à 11h47.

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : calcul d'une ellipse

    Faire passer une ellipse par 3 points : fastoche : il suffit de prendre un cercle !
    Mais pour définir une ellipse unique, il faut 5 points.
    On peut alors résoudre le système :
    a x² + b xy + c y² + d x + e y + f = 0
    qui ne contient en fait que 5 inconnues, l'un des facteurs pouvant être pris arbitrairement. C'est alors tout aussi simple.

    Le problème n'est intéressant que s'il y a plus de 5 points et qu'il faut trouver un optimum.

  12. #9
    clide

    Re : calcul d'une ellipse

    s'il y a plus de 5 pts, c'est pas un pb mais au contraire ça rigole encore mieux : le résultat n'en sera que plus précis.
    le système peut s'écrire en isolant les x² par exemple :
    b' xy + c' y² + d' x + e' y + f' = x²
    où b' = b / (-a) , ... on se retrouve avec un système rectangulaire :
    X u = v
    où X est la matrice ayant pour lignes [ xiyi yi² xi yi 1 ] avec chaque pt i
    u le vecteur des 5 coef qu'on cherche :
    [ b' ]
    [ c' ]
    [ d' ]
    [ e' ]
    [ f' ]
    et v le second membre : [ xi² ]
    résoudre Xu=v n'est pas possible, mais minimiser la norme ||Xu-v|| a une solution simple : on multiplie à gauche par XT (la transposée de X) , et on résoud :

    XT X u = XT v

    système carré 5x5 que l'on résoud aussi facilement (ou difficilement) que le précédent puisque de même taille.
    GAUSS va bien mais ici on a droit en plus à CHOLEVSKI puisque XT X est définie positive

  13. #10
    moijdikssékool

    Re : calcul d'une ellipse

    Citation Envoyé par JeanPaul
    Mais pour définir une ellipse unique, il faut 5 points.
    une ellipse c'est ou, comme j'ai voulu l'expliquer géométriquement , c'est à dire que l'on peut s'intéresser au tracé d'un ellipse via le rapport entre les excentricités
    il y a donc , , r et le rapport à trouver. Ca fait donc 4 inconnues et il nous faut 4 équations, donc 4 points
    Si on se fout non seulement des excentricités mais aussi du rapport entre elles, on n'a besoin que de 3 points

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : calcul d'une ellipse

    Et si l'axe de l'ellipse est penché, tu fais comment ?

    Réponse : on rajoute une inconnue et ça fait 5.

  15. #12
    moijdikssékool

    Re : calcul d'une ellipse

    je suis parti de la médiatrice de AB (et dans le repère de cette droite et sa perpendiculaire, on peut écrire l'ellipse comme je l'ai écrite), mais dans le cas de 3 points. On obtient une famille d'ellipses

    Dans le cas de 4, ca marche pas, je ne vois pas comment tracer une ellipse sur les critères que j'ai raconté
    D'autant que si le 4ème point est à l'intérieur du triangle formé par les 3 autres, le tracé d'une éllipse semble impossible. Une condition nécessaire doit être de pouvoir tracer par les points un polyêdre convexe

    Toujours est-il que le lien donné par zoup1 répond à la question, que l'ellipse passe par ou approche au plus près les points

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  17. #13
    Jeanpaul

    Re : calcul d'une ellipse

    C'est vrai que ça répond parfaitement au problème mais il manque le fun.

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