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Longueur d'une ellipse



  1. #1
    Gpadide

    Longueur d'une ellipse


    ------

    Bonjour, je voudrais calculer la circonférence d'une ellipse. Cela semble assez compliqué mais il existe une formule avec une série entiere. Pourriez vous me la démontrer, ou me donner un lien ? Je sais que c'est en lançant un calcul d'abscisse curviligne mais c'est moins aisé que d'habitude...

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Longueur d'une ellipse

    Salut !


    est-ce que tu arrive déja à exprimer le résultat en fonction d'une intégrale ? (de mémoire, intégral de 0 a 2*Pi de sqrt(a²*cos²(x)+b²*sin²(x)) dx )

  4. #3
    Gpadide

    Re : Longueur d'une ellipse

    Oui, j'en suis la. C'est apres que ca se complique a cause de la non symétrie due à a et b

  5. #4
    Ksilver

    Re : Longueur d'une ellipse

    si si, c'est bien symétrique.

    déja on peut ecrire cela comme 4*l'intégral de 0 a Pi/2 (c'est la forme un peu plus "standart" des intégrales élliptiques disont... ) et la la symétrie apparait si on fait le changement de variable x en Pi/2-x.


    pour obtenir l'expression avec une serie entière, il faut déja ce ramener a une seul expression qui va dépendre d'une variable x qui sera fonction de a et b...

    je te propose de remarque que :


    P=4*intégral de 0 a Pi/2 de sqrt(a²*cos²(x)+b²*sin²(x)) dx )
    = 4*intégral de 0 a Pi/2 de sqrt(a²*(1-sin²(x))+b²*sin²(x)) dx )
    =4*intégral de 0 a Pi/2 de a*sqrt((1+(b²-a²)/a²*sin²(t)) dt )

    en posant x=(b²-a²)/a² (ca aurait pas un nom en géométrie de l'ellipse sa ? c'est pas l'exentricité ? ) on a :

    P=4*a*intégral de 0 a Pi/2 de sqrt(1+x*sin²(t))dt

    bon apres, c'est parti pour le DSE : on a |x|<1, donc |x*sin²(t)| < 1, on peut donc déveloper le sqrt(1+...) en serie entière, permuter la somme et l'intégral (en justifiant tous cela bien sur... ) et intégrer chaque terme séparement, normalement on tombe sur les intégrales de Walis (sin^n(t) entre 0 et Pi/2, qu'on calcule en cherchant une relation de récurence entre Wn et W(n+2).. )


    voila tu à la méthode complete, bonne chance pour les calcules ^^

  6. #5
    Gpadide

    Re : Longueur d'une ellipse

    Ok alors j'ai essayé et j'ai plusieurs questions :
    premierement je n'arrive pas établir que l'intégrale peut se restreindre a 0 pi/2, je reste bloqué a [0,pi] car le changement de variable que tu me proposes change les sinus en cosinus et ne fait pas apparaitre l'intégrale que je cherche. Toutefois, j'ai admis ta formule pour faire la suite.

    deuxiemement, je voudrais savoir si je peux justifier l'interversion serie intégrale par "la serie converge uniformément sur [0,pi/2].

    troisiemement, le DSE fait apparaitre en effet l'intégrale de wallis . J'obtiens alors, en notant L(a,b) la longueur de l'ellipse et x comme toi :




    S'il ya un moyen de simplifier le coefficient binomial avec la fraction de factorielles je suis preneur (:

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Longueur d'une ellipse

    ouai tu as raison, j'ai été un peu vite, le passage de [0,Pi] a [0,Pi/2] est pas si evident en fait.


    donc on pose J(a,b) = l'intégral de 0 a Pi/2 sqrt(a²*cos²(x)+b²*sin²(x)) dx

    en faisait le changement de variable x'=Pi/2-x, on vérifie que J(a,b)=J(b,a)

    et en paisant le changement de variabe x en x-Pi/2, on vérifie que J(b,a)=J(a,b) = intégral de Pi/2 a Pi de sqrt(a²*cos²(x)+b²*sin²(x))

    on peut donc en conclure que intégral de 0 a Pi de sqrt(a²*cos²(x)+b²*sin²(x)) dx = 2*J(a,b)

    et donc que P=4*J(a,b)



    pour ce qui est de la convergence uniforme, oui c'est ca.




    et oui, on peut simplifier un peu l'expression de mémoir, je vais regarder ca...


    NB : en revanche si le but final est de calculer numériquement cette valeur, le dévelopement en seri n'est pas la methode la plus performante, tu as une suite qui converge linéairement, alors que pour les intégrals elliptique l'algoritme AGM donne des suites qui converge quadratiquement.

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  10. #7
    fderwelt

    Re : Longueur d'une ellipse

    Bonjour,

    Excusez-moi de m'immiscer, mais la restriction de 0 à pi/2 ne se justifie-t-elle pas simplement par raison de symétrie? La longueur d'une ellipse c'est bien 4 fois celle d'un quart d'ellipse, non? Du moins avc le paramétrage évident...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #8
    Ksilver

    Re : Longueur d'une ellipse

    oui aussi tous betement. c'est bien des fois de ce rapeller d'ou vien ce qu'on manipule




    sinon, pour ce qui est de la simplification, je trouve apres quelque calcule :

    P=2*Pi*a* somme des Cn*x^(2n)

    avec


    on peut aussi écrire cela un peu differement, en faisant intervenir les produit de nombres impaire et de nombre pair consécutif (comme pour Walis), mais tu semblait préferer ce type d'écriture alors...

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