calcul sur ellipse

[invite3284b792]

bonjour, vola , je cale sur un ancien exam que voici.

on nous demande d'integre de deux facons differents.
ce que j'aurais voulu savoir , c'est si j'utilise la bonne methode.
si oui, est ce normal que les deux reponses soi differentes.



qqn pourrait il me dire si je par bien et si il y a simplement une erreur de calcul, ou bien mon resonnement est faut, car en fait, je ne sait pas trop quoi faire du un, alors je l'ai backe, mais je n'ai aucune idée de savoir si c'est juste ou pas.

ùmerci

a+
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[invitea3eb043e]

Tuyau : si a=b, tu dois trouver la formule de l'aire d'un cercle, ce qui n'est pas le cas.

[invite3284b792]

oui mais donc, c'est une erreur de calcul par apres (car c'est tres long, j'ai 2 pages par exo) ou bien je me goure au depart, je veux dire, est ce que je commence bien, est ce bien comme cela qu'il faut commencer???
car si c'est juste une erreur de calcul, ca ne me derange aps trop (enfin si quand meme un peu, mais momins que si c'est une erreur de raisonnement)

a++

[invitea3eb043e]

L'aire d'un petit élément est dx dy, qu'il faut intégrer d'abord pour y variant de 0 à b*racine (1 - x²/a²) puis pour x variant de 0 à a.
(On calcule 1/4 de la surface ainsi).
Ca fait un peu de calcul, certes, mais il y a d'autres méthodes, notamment en considérant l'ellipse comme la projection d'un cercle (ça marche pour l'aire, pas pour le périmètre !)
A quel théorème de Greene fais-tu allusion ensuite (il y en a plusieurs).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3284b792]

pour green, c'est sur un champs de vecteur,

soit v champs de vect v = (P(x,y);Q(x;y))
--> int Pi+qj = int deri Q par rapport a x - deriv p par rapport a y
bon pour l'exo, j'ai pensé a change en coordonée polaire.

et j'ai d'abord essayer avec un cercle (comme dit plus haut) mais mnt, j'arrive pas sur pi r²


voila ce que je fais,
x = R*cos(O)
y = R*sin(O)

et j'integre de pour x de 0 a 2PI et pour R de 0 a rayon de (R²*cos²+R²*sin²)*R dRdO
mais j'arrive a r^4*PI

y a un truc qui coche mais je vois pas quoi.

emrci

a++

[invitea3eb043e]

Ce qui te manque, c'est un bon dessin où tu représenterais l'élément de surface.
Pour un cercle en coordonnées polaires, l'élément de surface, c'est :
ds = r* r dO
qu'il faut intégrer pour O de 0 à 2 pi et pour r de 0 à R et ça donne pi*R². Miracle ! On intègre bien ds et non (x²+y²) ds sinon ça n'est pas homogène.

Pour une ellipse, les coordonnées polaires ne servent pas à grand chose.
Par le théorème de Green, on voit que si on pose un vecteur de composantes :
P = -y/2
Q = x/2
Alors la circulation du vecteur le long de l'ellipse est l'intégrale de F.dl (en produit scalaire).
Si tu poses x=a*cos(O) et y = b*sin(O), alors tu trouveras facilement les coordonnées de l'élément de ligne :
dx = -a*sin(O) dO
dy = b*cos(O) dO
Tu intègres alors de 0 à 2*pi l'expression P dx + Q dy et tu trouves...