Rotationnel

[invite3ba80e6c]

Hi!!!
Mon souci est le suivant:
A quoi égale a

->
B dans l'expression

-> ->
rot B


Merci!!!
-----

[gg0]

C'est un vecteur;

celui auquel on applique le rotationnel.

[inviteea028771]

Et ici, si tu es dans le cadre d'un cours sur l'électromagnétisme, désigne généralement le champ magnétique

[invite3ba80e6c]

Hi!!!
Merci, mais on s'est pas compris
je veux

->
B pas le rotationnel

comme par exemple dans dv = X
donc v = intégrale de X

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Mais il n'y a rien de plus à dire; sauf si tu es dans un contexte où B a une signification particulière.

A moins que ta question soit : comment définir B si on connait son rotationnel ? Là, je n'ai pas d'idée, mais l'absence de propriété classique sur ce sujet est parlant.

Cordialement.

[invite3ba80e6c]

Hi!!!
d'accord
Grand Merci!!! à gg0 et à Tryss

[albanxiii]

Bonjour,

Là, je n'ai pas d'idée, mais l'absence de propriété classique sur ce sujet est parlant.

Dans le cas particulier où on a (dans le repère avec les vecteurs unitaires, notés avec un chapeau, dont le nom est évident, etc.), on peut écrire avec :
- , ou
- , ou
- la demi somme des deux, ce qui donne ici .

Si on a de la chance, on peut choisir l'axe comme bon nous semble...

@+

[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Il s'agit ici plus d'une question pour un physicien avertit qu'un mathématicien...

Il me semble que l'on a affaire ici à un potentiel vecteur, à ne pas confondre avec le potentiel scalaire: Il faut visualiser un champ vectoriel.

Le potentiel vecteur est une primitive et non pas une intégrale (non unicité).

[gg0]

Merci Albanxiii et Pseudoarallonge.

Tout champ de vecteur est-il le rotationnel d'un autre ? et si rot(B)=rot(C), quel est le lien entre B et C ?

Cordialement.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul partout dans un ouvert est localement un gradient. En symboles, si sur un ouvert , alors en tout point p de , il existe un ouvert et une fonction définie sur tels que partout sur .

Il s'agit d'une conséquence du lemme de Poincaré sur les formes différentielles : en effet, une fois une métrique choisie, correspond à une 1-forme , donc à une 2-forme. L'opération de Hodge donne une 1-forme (le fait de travailler en dimension 3 importe ici) que nous identifions au champ vectoriel . Un rotationnel nul signifie alors que est fermée, donc qu'il existe localement une fonction telle que . Via la métrique, cela se ramène à .

Il existe des champs vectoriels ne pouvant pas être le rotationnel d'un autre, même localement, à cause de l'identité ; un champ vectoriel à la divergence non nulle ne peut être obtenu comme le rotationnel d'un autre.

Cordialement

[gg0]

Donc si j'ai bien compris, si , alors est simplement un gradient (localement), pas du tout un champ de vecteurs constants. Ce qui veut dire que la connaissance de ne dit pas grand chose sur ; ou encore, que la connaissance de ne donne pas de bons indices sur la valeur de .
Ce qui répond à la question initiale !

Cordialement.

[invite47ecce17]

Donc si j'ai bien compris, si , alors est simplement un gradient (localement), pas du tout un champ de vecteurs constants. Ce qui veut dire que la connaissance de ne dit pas grand chose sur ; ou encore, que la connaissance de ne donne pas de bons indices sur la valeur de .
Ce qui répond à la question initiale !

Cordialement.

Pas exactement, en general on peut en dire plus quand meme avec de bonnes hypotheses sur l'espace ambiant. Par exemple sur R^3, si rot(A)=rot(B), alors on peut dire que A=B+grad(f), où f est une fonction globale sur R^3.
Dans d'autre cas, c'est plus compliqué, si il est possible que rot(A)=rot(B) sans que A et B ne different d'un gradient global. Mais on peut quand meme en dire plus, si l'espace ambiant est compact, on sait qu'il existe un nombre fini, disons C1,...,Ck de champs de vecteurs tel que A=B+tC_i+grad(f), où t est un scalaire, et f une fonction quelconque. Dans les cas usuel on sait meme determiner en general les C_i.
Sur le sphere S^3, les C_i seraient nul, sur l'espace projectif réel de dimension 3, il y en aurait 1.

[invite47ecce17]

Erreur de ma part: Il y en aurai 0 egalement sur l'espace projectif réel de dim 3

[gg0]

Dans le message initial,

le plus probable est qu'on est sur . En tout cas, la réponse est "B est mal défini".

Cordialement.

[invite3ba80e6c]

Hi!!!
ok!!!

-> ->
rot ( B ) = -ayk²sin(wt-kx)
c'est pour en faite avoir l'expression de

->
B

Merci!!!

[gg0]

Bonjour.

1) Tu n'as toujours pas dit dans quel contexte tu fais ce calcul.
2) Tu n'as pas lu ou pas compris ce qui est dit au dessus.

[invite93e0873f]

-> ->
rot ( B ) = -ayk²sin(wt-kx)
Merci!!!

Le rotationnel est un champ vectoriel, donc il a plusieurs composantes (à savoir 3, sauf si tu considères le «rotationnel» bidimensionnel). Or, l'expression ci-haute ne contient pas de vecteur! Dans quel cas te trouves-tu?