vitesse de convergence d'une série de dirichlet et hypothèse Riemann

[acx01b]

Bonjour,

(tout ceci est je crois valable également pour les transformées de laplace non bilatérales)

on sait que pour une série de Dirichlet
on a ce qu'on appelle une abscisse de convergence tel que
converge. De plus, si alors la série ne converge pas.

Ce qui est intéressant c'est que est directement lié à la vitesse de convergence de la série pour n'importe quel :

Si converge, alors :



dans ce cas sera négatif ou nul, et on aura que converge pour

si on applique ça à ou plutôt à



(qui n'a plus de pôle en )

on devrait avoir directement sous l'hypothèse de Riemann

Bien sûr qui est la valeur absolue de la fonction de Moebius n'est pas triviale à calculer, mais sachant qu'elle vaut soit 1 soit 0 pour tout ,
je m'étonne qu'on ne trouve pas de tonnes d'essais d'estimations numérique pour calculer cette limite (pour par exemple ou pour d'autres valeurs et comparer, voir déjà si on trouve la même), ou des travaux qui étudient les propriétés de pour trouver des indices sur cette valeur.
D'ailleurs, ce critère qui a priori est équivalent à l'hypothèse de Riemann n'est même jamais considéré dans la plupart des ouvrages.
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