Problème EDO

[invite029538f3]

Bonjour, veuillez s'il vous plait m'aider à résoudre l'exercice suivant :

1. Montrer que le problème de Cauchy y'(x)=1/1+xy et \ y(0)=0 $ possède une solution maximale.

La fonction est de classe C1 sur R2 (x,y) / xy=-1 et elle est localement lipchitzienne donc le problème de Cauchy admet une unique solution maximale définie sur [a,b], a<b.

2. Montrer que celle ci est impaire

Posons z(x)=-y(-x)
avec y(x)=-y(-x) et -y(x)=y(-x)


donc je l'ai, je crois

3. Etablir qu'elle est définie sur R.

C'est là que je bloque, j'aimerais savoir comment je peux montrer qu'elle est définie sur R, le fait qu'elle soit localement lipschitzienne ne signifie t'il pas qu'elle est définie sur R ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Ce que vous dit votre cours est probablement qu'en tout point (x_0,y_0) avec de bonnes conditions, il y a une solution de votre équation définie localement (i e sur un intervalle ouvert contenant x_0) tel que y(x_0)=y_0.

Vous avez donc par les questions précédentes une fonction y(x), définie sur un intervalle de la forme (-a,b), solution maximale de votre équation avec a,b>0 et y(0)=0. Par une de vos questions précédentes, vous avez uniquement à vous préoccuper de b: il s'agit de démontrer que b=+\infty.

Supposez le contraire, donc que b est fini, il s'agit de trouver une contradiction. Sur [0,b[ vous avez 1+xy(x) non nul. Donc cette fonction continue y a un signe constant, et comme elle vaut 1 en zéro, elle est toujours positive. Donc la dérivée de y(x) est positive, et y(x) est croissante. Elle admet donc soit une limite finie L (on aura donc ), soit tend vers +\infty quand x tend vers b, (x<b).

Premier cas: y tend vers L; On a alors que admet une limite en b, qui est . Comme 1+bL est non nul, il existe une solution z de votre équation différentielle telle que z(b)=L, définie sur un petit intervalle ouvert autour de b, soit ]b-e, b+e[. On fabrique alors une solution y_1 de votre équation en posant y_1(x)=y(x) pour x<b et y_1(x)=z(x) si . Ceci est impossible car la solution y(x) est maximale.

(Ce qui précède devrait \^etre dans votre cours, et vous devriez pouvoir vous limiter à ce qui suit)

Second cas: y(x) tend vers l'infini si x tend vers b. On a . On a toujours , et par suite , ce qui contredit l'hypothèse faite que y tend vers l'infini si x tend vers b.

Conclusion: b=+\infty.

Cordialement.

[gg0]

Quelle idée de reposer ici cet exercice pour lequel tu as eu de nombreuses réponses. Sur un autre site.
Ce n'est pas très sympa pour ceux qui ont pris du temps !!