classe C1 pour f(x,y)

[Minialoe67]

Bonsoir,

Soit f(x,y)=sin(x²y²)/xy, prolongée par continuité par f(x,y)=0 si x=0 ou y=0.
Cette fonction est continue sur R².

Mais est-elle de classe C1 en (0,0)? (1,0)?

J'ai calculé df/dx (0,0) = lim (x=>0) [ f(x,0)-f(0,0) ] / [ x-0 ] =0. Idem pour df/dy (0,0)=0
Donc les dérivées partielles en (0,0) existent.

df/dx= [ 2x²ycos(x²y²) - ysin(x²y²) ] / (xy)²

df/dy= [2xy²cos(x²y²) - xsin(x²y²) ] / (xy)²

d'habitude on majore | df/dx(x,y) - df/dx(0,0) | par une norme qu'on fait tendre vers 0 (pour montrer la continuité des dérivées partielles donc que f est C¹ )mais ça ne marche pas vraiment ici, ou bien?
Y-a-t-il une meilleure méthode?

De même, pour (1,0)
Que faire?

Par ailleurs, doit-on utiliser cos(x²y²)≤1 et | sin(x²y²) | ≤ (x²y²) ici?

Merci de m'aider
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[gg0]

Bonjour.

dans ce cas particulier, on peut commencer par étudier la fonction :

Prolongée par continuité en 0 (g(0)=0).
Si tu connais les séries, il est facile de voir qu'elle est développable en série entière en 0 donc . Sinon, tu peux facilement étudier sa dérivabilité et montrer qu'elle est .
Ensuite, ta fonction est simplement f(x,y)=g(xy) qui est directement continument deux fois dérivable par application des théorèmes sur les fonctions composées.

Cordialement.

[Minialoe67]

Merci, je vais y réfléchir