résolution d'une équation trigonométrique

[invite1499ca97]

Bonsoir



quelqu'un peut m'aider a trouver la methode de ces solutions
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[acx01b]

tu as essayé d'écrire sin et cos avec des exponentielles complexes ? ça te ramène à un polynôme

[gg0]

Bonjour.

Il faut remarquer qu'il s'agit de valeurs approchées des solutions. le premier membre étant une fonction périodique de période 2 Pi il suffit de l'étudier sur un intervalle de cette longueur. la dérivée étant de faible valeur absolue, un tracé précis de la courbe fait apparaître les intersections avec Ox dont les abscisses (approchées) donnent les valeurs proposées (au besoin, en zoomant sur la zone).
On peut utiliser toute méthode de calcul approché, une fois qu'on a vu qu'il y a une solution entre 0.4 et 0.5 et une autre entre 1.6 et 1.7. Voire un logiciel de calcul approché.

Cordialement.

[invite1499ca97]

je veux resoudre ce probleme analytiquement pour mon prochaine TD

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Alors tu as une bonne méthode, proposée par Acx01b.

[invite936c567e]

Bonjour

Une méthode, qui revient à peu de chose près à celle donnée par acx01b, consiste à élever au carré les termes, puis à utiliser la propriété la propriété cos²(x₁)+sin²(x₁)=1 afin d'arriver à une équation polynomiale du 4^ème degré.


En posant :
• A=1,22
• B=1,7
• C=1,10025

(A + B·cos (x₁))·sin(x₁) – C = 0
⇒ (A + B·cos (x₁))·sin(x₁) = C
⇒ { (A + B·cos (x₁))·sin(x₁) }² = C²
⇒ (A²+B²·cos²(x₁)+2·A·B·cos(x₁))·sin²(x₁) = C²
⇒ (A²+B²·cos²(x₁)+2·A·B·cos(x₁))·(1–cos²(x₁)) = C²
⇒ –B²·cos⁴(x₁)–2·A·B·cos³(x₁)+(B²–A²)·cos²(x₁)+2·A·B·cos(x₁)+A² = C²
⇒ cos⁴(x₁)+2·(A/B)·cos³(x₁)+((A/B)²–1)·cos²(x₁)–2·(A/B)·cos(x₁)–(A/B)²+(C/B)² = 0

soit à résoudre l'équation en x :

x⁴+2·a·x³+(a²–1)·x²–2·a·x–a²+c² = 0

où :
• x=cos(x₁)
• a=A/B
• c=C/B


On peut en trouver analytiquement les racines par la méthode de Ferrari (que je ne vais pas développer ici).

Parmi ces racines, il ne faudra retenir que les valeurs de x vérifiant -1≤x≤1 et en déduire les valeurs de x₁ correspondantes ( x₁=±arccos(x) pour celles situées dans l'intervalle ]–π,+π] ).

Et parmi les solutions de x₁ trouvées, il ne faudra garder que celles qui vérifient l'équation initiale.

[invite1499ca97]

Mercie beaucoup les mathématiciens on a toujours besoins de vous

je vais essaye cette méthode

[invite2e4a937b]

bonjour,

J'ai essayé une méthode mais je ne sais pas où j'ai commis une erreur.
L'équation est : (1.22+1.7cos(x))sin(x)-1.10025=0
ssi 1.22sin(x) + 1.7sin(x)cos(x) - 1.10025 =0
ssi 1.22sin(x) + (1.7/2)sin(2x) - 1.10025 =0
Notons S(x)= 1.22sin(x) + (1.7/2)sin(2x) - 1.10025 =0
alors S'(x)= 1.22cos(x) + 1.7cos(2x) = 0
l'idée derrière la derrière la dérivé de S(x) est de s’embarrasser de sin(2x) et puis obtenir cos(2x) que je peux l'écrire 2cos²(x)-1 !
Donc on obtient 1.22cos(x) + 1.7*(2cos²(x)-1) =0
ssi 3.4cos²(x) + 1.22cos(x) - 1.7 =0
C'est une équation de second degré à résoudre mais j'ai obtenu : cos(x) = 0.94829 => x=18.5 ou cos(x) = -0.51 => x=120.66 !!!!!

Merci de m'avoir corrigé car je suis sur que j'ai commis une erreur puisque mes résultats ne vérifient pas l'équation

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas si tu as fait des erreurs de calcul (je n'ai pas vérifié), mais ce qui est sûr, c'est que les racines de la dérivée ne sont pas celles de la fonction.
Donc tu fais un calcul sans utilité.

Cordialement

[invite2e4a937b]

Re:
Bonsoir gg0, ouii j'ai pas fait attention !! Merci !

Cordialement.

[invite51d17075]

correction
je revient avec un truc plus propre demain

[invite51d17075]

Bonjour
Ne trouvant pas de solution analytique, j’ai choisi un truc bourrin.

D’abord en regardant les variations de la fonction ( d’abord sur [0,PI] )
F(x)=a*sin(x)+b*sin(x)*cos(x)-c =a*sin(x)+(b/2)sin(2x)-c
La dérivée s’annule d’abord vers 66° et 138°

La fonction est négative en 0 ,
croissante jusqu’à 66° ou elle est positive
puis décroissante jusqu’au second extrémum ou elle est négative.
La fonction s’annule donc entre 0 et 66 puis entre 66 et 138.

Ensuite, on cherche à approcher les racines par simple itération en posant
Sin(x+h)=sin(x)+h*cos(x) et
Cos(x+h)=cos(x)-h*sin(x)
On développe f(x) et on laisse tomber le seul terme en h² pour éviter une équation du second degré.
On trouve h=A/B avec
A=c-a*sin(x)-(b/2)*sin(2x) et
B=a*cos(x)+b*cos(2x)
On en déduit un nouveau x’ = x+h

Pour les initialisations , je prend bêtement le milieu des intervalles
Soit x1=66/2 , que j’arrondi à 30
Et x2=90 ( arrondi du milieu entre les deux extrémas )

Au bout de trois itérations sous exel, j’arrive aux deux solutions
x’1=0,40670367 et x’2=1,63975045 ( en radians)
le x2 est bien meilleur que l’énoncé car f(x2)=10^(-13)

cordialement

ps : reste à vérifier qu'elle est négative entre -pi et 0 .

[invite51d17075]

petite correction et remarque complémentaire.
j'ai pris 90 pour le second bêtement , mais le milieu est à 102
en prenant cette valeur d'initialisation on a déjà un excellent résultat à la deuxième itération avec x’2=1,63975054 dont f(x)=2^*10^(-7)

sinon pour les valeurs entre [-pi;0] soit entre [pi;2pi]
les extremums sont x3=x1+pi et x4=x2+pi ( logique )
avec comme maximum x3 et f(x3) <0 ( env -0,9)
donc pas de racine pour f(x) sur cet intervalle.

[invite51d17075]

sorry, c'est 2pi-x et pas x+pi !

[invite7c2548ec]

Bonjour tout le monde pour tirer plus de profit avez vous les même solutions , pour les différents méthodes ?

Cordialement

[invite51d17075]

Alors tu as une bonne méthode, proposée par Acx01b.

certes, enfin j'ai essayé et je tourne en rond avec l'approche analytique par les complexes
mais peut être que Acx01b ou toi même a la résolution ?

c'est pourquoi je suis revenu à une démarche par approximation qui en fait est très proche de celle par les tangentes de Newton.
en me rendant compte qu'elle convergeait très vite.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

certes, enfin j'ai essayé et je tourne en rond avec l'approche analytique par les complexes
mais peut être que Acx01b ou toi même a la résolution ?

c'est pourquoi je suis revenu à une démarche par approximation qui en fait est très proche de celle par les tangentes de Newton.
en me rendant compte qu'elle convergeait très vite.

Salut ansset je suis convaincu que cette équation a une solution analytique à mon avis faut quand utilise les formules trigonométriques pour quelle sois manipulable et par la suite trouvez la solutions .

Cordialement

[gg0]

Pour ma part, je n'ai pas essayé, car manifestement on tombe sur du quatrième degré. Mais Faya3 voulait une "méthode analytique", ce que j'ai compris comme un calcul exact, et qu'il le fasse.

Cordialement.

NB : les coefficients étant des valeurs à virgule, il est probable qu'il s'agit de valeurs approchées. Si c'est le cas, le calcul exact est une mauvaise idée.

[gg0]

A Topmath : "je suis convaincu que cette équation a une solution analytique".
Si tu n'en trouves pas, ton assurance est fantaisiste.
Pour ma part, les calculs pénibles pour résoudre les équations de degré 4 ne m'amusent pas.

Cordialement.

[invite51d17075]

justement, je trouve aussi une équation au 4ème degré en passant par les complexes.
et la réponse ne peut pas être :
solution : équation du 4ème degré avec des coefficients "zarbi".
résolution : algorithme adapté ou j'envoie un logiciel de calcul formel ( sur le polynome ou sur l'équation initiale )

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Pour ma part, je n'ai pas essayé, car manifestement on tombe sur du quatrième degré. Mais Faya3 voulait une "méthode analytique", ce que j'ai compris comme un calcul exact, et qu'il le fasse.

Cordialement.

NB : les coefficients étant des valeurs à virgule, il est probable qu'il s'agit de valeurs approchées. Si c'est le cas, le calcul exact est une mauvaise idée.

Même si la résolution ce ramène à un polynôme de degrés 4 , pour vue que la solution soi analytique est non par méthodes numérique ce que je pense dument ;

Cordialement

[invite51d17075]

oui :
ça "peut" se faire.
mais je laisse le soin et le courage d'aller au bout sans transpirer.
http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=equa4degre
il y a même un exemple.

ps : attention la moindre inattention est fatale .( et il faut aussi déjà savoir résoudre une équation du degré 3 bien sur )
tu me dira combien de pages de calcul , pour info.

[invite7c2548ec]

D'accord bonne idée mois aussi je suis partant je posterai dés que possible ces des calcule lourds .

Cordialement

[invite51d17075]

bon courage !
( dans le fil , le passage de la résolution du degré 3 n'est pas détaillée , il faut suivre le lien indiqué )

[invite7c2548ec]

Pas de soucis ansset et bon courage et calcule merci à vous de meme .

Cordialement

[invite51d17075]

ps : fais le sous excel , ou alors à chaque fois gardes suffisamment de chiffres après la virgule....
sinon, je ne sais pas si tu l'avais compris, mais je ne ferais pas moi même le calcul.

[invite51d17075]

heuu : et pas de triche avec un logiciel de calcul de résolution d'équation.
( je te sais friand de ces outils )

[Médiat]

Bonjour,

Idéalement, topmath devrait résoudre l'équation fournie par PA5CAL x⁴+2·a·x³+(a²–1)·x²–2·a·x–a²+c² = 0

[invite7c2548ec]

Bonsoir tout le monde :

Bonjour,

Idéalement, topmath devrait résoudre l'équation fournie par PA5CAL x⁴+2·a·x³+(a²–1)·x²–2·a·x–a²+c² = 0

J'ai bien vérifier l'équation proposer par PA5CAL très bien calculer c'est juste

J'appelle , , et pour finir

Donc notre équation devient

Le malheur dans tout ça ce n'est pas dans la méthode de Ferrari mais à chaque fois je me trouve devant des nombres irrationnels rien que pour calcul je dois trouver le PGCD(110025,170000)=25 pour des valeur exacte (Véritable cauchemars) .

Tu me pardonne ansset ci j'utilise des logiciel libre encore juste les solutions , car c'est une véritable punition Solution de l'équation (1) .
Joyeuse faite à tout le personnel de futura-science ainsi qu'à tout les membres bonne année 2014.

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous tien j'ai oublier un détaille si dont les valeurs numériques sont cités dans le message précédemment.

Cordialement