Dl

[Minialoe67]

Bonjour

sur R+
fn(x)=sin√(x+4*∏²*n²) -x/4n∏

comment faire un DL pour trouver la limite a l'infini?
j'ai fait le DL de la racine ce qui donne sin 2∏n(1+x/4∏n -x²/32∏²n² + o(1/n²)) -x/4∏n
Comment continuer?
Pour l'instant à priori ça ne converge pas quand n tend vers l'infini( le but ultime c'est de voir s'il y a convergence uniforme ou pas).

Autre question:
Si on réduit l'intervalle d'étude à [0,a], a>0, pour montrer la convergence uniforme, on doit faire tendre n vers l'infini toujours? ça change quoi de réduire le domaine d'étude?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

le sous la racine dans un sinus devrait t'alerter. Car ajouter dans un sinus ne le change pas.
Donc l'idée est d'écrire

Bon travail !

[Minialoe67]

Je m'étais trompée dans mon Dl en plus:
sin 2∏n(1+x/8∏²n² + o(1/n²)) -x/4∏n
or la période du sin c'est 2 pi
donc on a sin(x/4∏n +o(1/n) - x/4∏n
équivalent à +∞ à o(1/n)
donc ça converge vers 0.
Merci!

Autre question, f(x) - g(x) est bornée? ou non bornée? (si on a f bornée et g non bornée?)
car pour montrer qu'il y a convergence uniforme sur R+, |fn-f|=|sin√(x+4*∏²*n²) -x/4n∏| et vu que c'est la somme d'une fonction bornée et d'une autre non bornée, je sais pas trop quoi conclure...

Sur [0,a] |fn-f|=|sin√(x+4*∏²*n²) -x/4n∏| ≤ 1 + a/4∏n donc tend vers 1 à l'infini donc ça ne converge pas uniformément?

Merci de me répondre

[gg0]

Bonsoir.

Difficile de répondre à tes questions, qui sont posées dans un désordre assez déroutant : "Autre question, f(x) - g(x) est bornée? ou non bornée? (si on a f bornée et g non bornée?)"
Si tu demandes si sachant que f est bornée et g est non bornée alors f-g est bornée ou non, un minimum de réflexion à partir de la définition de "borné" et des règles sur les inéquations qu'on voit en collège te permet de répondre toi-même .... Toujours essayer vraiment de répondre à ses propres questions. Ne pas le faire c'est rester bêtement amateur, ne pas vouloir savoir vraiment.

"Autre question:
Si on réduit l'intervalle d'étude à [0,a], a>0, pour montrer la convergence uniforme, on doit faire tendre n vers l'infini toujours?" Là encore, il y a plusieurs possibilités d'interprétation de ta question (suivant le domaine sur lequel se fait la convergence), mais dans tous les cas, la réponse est évidente (définition de la convergence uniforme.

"Sur [0,a] |fn-f|=|sin√(x+4*∏²*n²) -x/4n∏| ≤ 1 + a/4∏n donc tend vers 1 à l'infini donc ça ne converge pas uniformément?" ???
Qu'est-ce qui tend vers 1 ? Quel est ton problème ? Tu as 1/n<2, ça n'empêche pas 1/n de converger vers 0.

De façon générale, tu restes bien trop flou dans ce que tu écris pour faire sérieusement ce genre de maths. Si tu veux les faire, il va falloir te forcer à
* apprendre vraiment les définitions
* ne pas regarder les situations de loin, mais aller dans le détail
* écrire complétement, pas de manière floue, ce que tu fais. Si c'est en français courant, les "ça", "c'est", ... sont à proscrire. Toute phrase ne doit avoir qu'une signification possible, donc le verbe est clair, le sujet est évident, etc.
* apprendre à nier les propriétés : que signifie "non borné" ? "ne converge pas" ? "ne converge pas uniformément".

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]