Jacobien?

[invite3c81b085]

Bonjour,

J'ai deux fonctions de deux variables:


La matrice jacobienne est la suivante:


Je calcule le déterminant de cette matrice:


Il parrait que ça s'appelle le Jacobien...

A quoi sert-il? A quoi sert la matrice Jacobienne?

Merci

Bien à vous.
-----

[invitec314d025]

Ca sert à pas mal de chose, c'est l'équivalent d'une dérivée.
Tu retrouves notamment le déterminant de cette matrice dans les changements de variable dans une intégrale.

[invite3c81b085]

Il me vient à l'esprit, j'aimerai intégrer le Jacobien pour retomber sur les deux fonctions de départ. Est-ce possible?

[Bleyblue]

Il parrait que ça s'appelle le Jacobien...

Oui j'avais entendut dire le professeur d'analyse que le déterminant de la matrice jacobienne c'était le jacobien.
Et c'était un cours sur les intégrales multiples ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

J'ai deux fonctions de deux variables:

Non je dirais plutôt une seule fonction de R² -> R² ...

[invite3c81b085]

Oui, mea culpa

[invite4793db90]

Salut,

à partir du jacobien, ce n'est pas possible: un jacobien nul correspond à une infinité de fonctions possibles.

A partir de la matrice jacobienne, je ne sais pas, car il s'agit de résoudre un système d'équations aux dérivées partielles et mes connaissances ne permettent pas d'aller plus loin...

Cordialement.

[invite3c81b085]

ce serait génial d'y arriver

BleyBlue et Moi experimenterons cela avec le second volume de Stewart: les fonctions à plusieurs variables et on vous tiendra au courant dès qu'on aura un résultat encourageant

[invite6b1e2c2e]

A ma connaissance, si tu veux résoudre

et
,
avec u et v à valeurs dans R, si tu travailles sur un ouvert simplement connexe, il faut et il suffit que
conformément aux formules de Schwarz. (Marche aussi en dimension supérieure). Cela dit, la fonction f est bien entendu déterminée à constante près.

__
rvz

[Bleyblue]

BleyBlue et Moi experimenterons cela avec le second volume de Stewart: les fonctions à plusieurs variables et on vous tiendra au courant dès qu'on aura un résultat encourageant

Peut-être bien que si on arrive à se procurer (auprès du professeur) les notes de cours sur les intégrales multiples ça y sera.
En tout cas ça ne coute rien d'aller demander ...

[invite35452583]

Que l'on voit deux fonctions initiales f(x,y) et g(x,y) à valeurs dans R ou une fonction (f(x,y), g(x,y)) à valeurs dans R², le jacobien donne la dérivée totale (construite avec des dérivées partielles).
En général, avec quelques conditions dont celles données par rvz, la dérivée totale suffit à déterminer la fonction à constante près.
Numériquement, il y a meilleur; théoriquement, aussi mais la méthode simple d'Euler permet de comprendre pourquoi :
en chaque point M(x,y) dont on connaît la valeur de la fonction f(x,y), on peut calculer la valeur de celle-ci en les points voisins M(x+dx, y+dy).
On fait une approximation finies à partir d'un M(x0, y0) dont on fixe la valeur f(x0, y0) et on réalise des suites avec des écarts dx et dy données puis on fait tendre ces derniers vers 0. (Et, dans les bons cas ça converge)
Néanmoins pour que ça converge contrairement à une dimension, on peut passer d'un point M(x, y) à un autre M(x', y') par plusieurs chemins. La condition de Schwartz) sont là pour s'en assurer : on quadrille par des petits carrés sur ceux ci, on peut passer par un côté ou par un autre et dans le cas simplement connexe (sans trou) cette propriété locale s'étend à tout le domaine.

[invite3c81b085]

Donc, à partir de la matrice jacobienne, comment fais-je pour retrouver la fonction (R²->R²) de départ?

[invite6b1e2c2e]

Tu peux par exemple résoudre

Tu obtiens alors que , et f-g est donc une fonction harmonique.

En gros, tu as trouvé f à une fonction harmonique près.
Est ce qu'on peut faire mieux ? Je ne sais pas.

__
rvz

[invite3c81b085]

en français, ça donne quoi?

[invite6b1e2c2e]

Oups ! Pardon !
Je voulais dire laplacien, c'est à dire la divergence du gradient. Mais après plus ample réflexion, je pense qu'il y a mieux, en s'inspirant de la méthode intuitive proposée par homotopie. Ca doit pouvoir se faire facilement sur un ouvert étoilé, je pense. En effet, si ton ouvert est étoilé au point a, quand tu prends un point b dans cet ouvert, alors le segment [a,b] est dans l'ouvert où tu connais la dérivée, et tu as la formule



et tu connais df !

__
rvz

[invite6b1e2c2e]

Décidément, ce soir, j'ai du mal avec latex, désolé !

__
rvz

[invite3c81b085]

merci beaucoup

[invite6b1e2c2e]

Je t'en prie !

Note que ça doit pouvoir marcher sur des ouverts connexes, mais il faut intégrer sur des chemins. D'ailleurs, peut-être que du coup, il faut des ouverts simplement connexes ?
J'ai l'intuition de la fonction
exp(i*a)-> a qui est multivalué, ce qui doit être génant, mais je sais pas trop ... Des avis pour m'éclairer ?

__
rvz

[invite35452583]

oui il faut que ce soit connexe mais également simplement connexe.
L'exemple de Herbiti est avec l'exponentielle est très proche des fonctions initiales f1 et f2 données par Herbiti. En fait si on prend ln(f1) alors les deux fonctions sont la partie réelle et la partie imaginaire d'un logarithme complexe.
Or arctan (comme toute mesure d'angle) est définie à une constante près. A rayon constant si on tourne dans le sens trigonométrique alors la mesure par continuité croît, elle décroît en sens inverse. Il faut donc une coupure (ici les réels positifs) sinon les valeurs différent selon le chemin choisi (écart proportionnel à 2pi). Mais à remarquer que le jacobien lui n'a qu'une singularité qu'en 0.
Des solutions sur des non convexes peuvent exister mais ce n'est plus alors le cas général.

Par rapport à la question d'Herbiti de comment retrouver après le pourquoi, voici comment :
1) tu connais la dérivée par rapport à x, tu l'intégres par rapport à x en considérant y comme constante, tu auras une fonction k(x,y) non pas à une constante près mais à une fonction h(y).
2) Tu dérives le résultat obtenu k(x,y)+h(y). Cela donne une équation en y seul (ou alors c'est qu'il y a un problème, en fait c'est l'égalité des équations aux dérivées partielles qui permet de savoir qu'après simplifiation la dérivée par rapport à x est nulle, exercice facile mais instructif, x a donc "disparu")

Ici, c'est facile les primitives sont évidentes (en plus on vient de les calculer).

Pour aider à voir le lien avec la réponse théorique :
+à la 1ère étape, tu as un ensemble de solutions variant selon x valables pour y fixé.
+à la seconde étape on couds selon y pour que la réponse satisfasse également l'équation quand on se déplace selon y.

[invite35452583]

Complément sur la question simplement connexe. La fonction f1 initiale et ses dérivées partielles est un exemple où les solutions sont définies sur tout l'ensemble malgré un ensemble non simplement connexe au départ (l'origine est une singularité des dérivées).
La fonction se prolonge par continuité en cette singularité ce qui n'a rien d'extraordinaire quand on a compris ce qui précède.

Aussi non, Herbiti, tu demandais à quoi ça pouvait servir le jacobien. matthias t'as déjà répondu que cela intervenait dans les changements de variables dans les intérgrales multiples. Je t'ai fait remarquer la forme particulière (f1 : norme, f2 : argument).
Pour ce jacobien particulier, tu as ta réponse non?