Exercices de "Eléments d'analyse" Tome 1, de Jean Dieudonné

[inviteb3412e7c]

Bonjour,

Je suis en train de m'attaquer aux exercices du premier tome de la monographie de J. Dieudonné, "Éléments d'analyse".

Je viens de me remettre à l'étude des mathématiques, et c'est avec cet ouvrage que j'ai décidé de me dérouiller. En ce moment j'en suis au chapitre III sur les espaces métriques, à la section qui traite de la notion de limite dans un espace métrique.

S'il y a des personnes qui veulent se lancer avec moi dans ce livre, je les invite à venir partager leurs réflexions ici.

J'utiliserais de la même manière ce fil afin de vous tenir au courant de mon avancée en vous rapportant mes ressentis et mes réflexions.
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[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous : Mais c'est une véritable encyclopédie c'est un ouvrage en 9 volumes le dernier tome porte sur "Éléments d'Analyse, tome 9 ; Topologie Algébrique, Topologie ".

Cordialement

[inviteb3412e7c]

Salut les gens!

Je viens de finir l'exercice 3) de la section 13 du chapitre III. D'ailleurs je crois qu'il y a une faute de frappe, car je ne trouve pas le problème 2 a) de la section 9 du chapitre III

L'énoncé de l'exercice est : Soient un espace métrique séparable et une fonction de dans quelconque. Montrer que l'ensemble des tel que est dénombrable.

Mon raisonnement, est le suivant:
Je pose pour et ,

Pour , je montre qu'il existe tel que , en utilisant la définition de avec .

Je montre ensuite que , à cause de .

Ensuite que la famille est dénombrable du fait de la séparabilité de en utilisant la possibilité d'extraire un recouvrement dénombrable d'un recouvrement par une famille d'ensembles ouverts d'une partie d'un espace séparable et de la propriété précédente.

On a donc que est dénombrable et donc que est dénombrable

Donc on a donc montré que l'ensemble des points de pour lesquels la limite de la fonction en est strictement supérieure à la valeur de en est dénombrable. Un résultat analogue montre la même chose quand c'est strictement inférieur. Et on obtient donc le résultat recherché.

Qu'en pensez-vous? Ai-je fait une erreur? Y a-t-il plus simple?

[inviteb3412e7c]

Hum... j'ai une question.

Dans la section 14 du chapitre III sur les suites de Cauchy. Dans le problème 2) est-ce que le diamètre de selon dois être inférieur ou égal à , car sinon je vois pas comment on définit car ne semble pas définie pour des valeurs supérieures à

Voilà le texte du problème:
Soit une fonction à valeurs réelles croissante définie dans l'intervalle , et telle que , si , et . Soit une distance sur un ensemble ; alors est une autre distance sur . [...]

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3412e7c]

Dans mon post #4, je viens de comprendre que est définie de dans . C'est juste que la tournure de phrase m'a perturbé.

[Seirios]

Ensuite que la famille est dénombrable du fait de la séparabilité de en utilisant la possibilité d'extraire un recouvrement dénombrable d'un recouvrement par une famille d'ensembles ouverts d'une partie d'un espace séparable et de la propriété précédente.

Je ne vois pas comment est justifié ce passage. Affirmes-tu que est un recouvrement ? Parce qui si est continue, , donc ce ne sera pas le cas.

[inviteb3412e7c]

Je ne vois pas comment est justifié ce passage. Affirmes-tu que est un recouvrement ? Parce qui si est continue, , donc ce ne sera pas le cas.

C'est vrai que je devrais séparer le cas et le cas , et comme si alors est composé d'aucun élément et donc est au plus dénombrable.

Merci pour la remarque, la prochaine fois je ferais un peu plus attention à avec lequel il faut parfois prendre des précautions.


PS: \varnothing n'est pas défini sur cette version de latex?

[Seirios]

Finalement je viens de comprendre l'argument que tu utilises. Pour moi, ton raisonnement est correct.

[ulyss]

Bonjour,

Excellent cet exercice 3) de la section 13 du chapitre III que vous mentionnez! Plutôt pointu de mon point de vue en tout cas. J'ai mis du temps à comprendre de quoi il retourne en fait.

Peut-être qu'il manque un élément d'explication important dans votre raisonnement (enfin cela est peut-être évident pour vous, mais pas pour moi ):
à savoir que le cardinal (fini ou infini) de la famille "extraite" dénombrable de qui recouvre est le même que celui de .

Le fait que toute sous-famille extraite de qui formerait un recouvrement de contiendra en fait toutes les boules telles que vous les définissez me paraît être une chose importante à notifier dans la démonstration.
En effet, comme pour a, aucun autre b de n'appartient à cela nous montre ce que je viens d'énoncer.

Bon, j'espère ne pas me tromper et avoir bien compris. Qu'en pensez vous?

Sinon pensez vous qu'on puisse généraliser le résultat avec des hypothèses plus larges?
Genre si E est séparable mais pas métrique (i.e. uniquement topologique), un résultat équivalent semble démontrable.
Ou si l'ensemble d'arrivée de f n'est pas mais juste un ensemble séparable quelconque... Là il y a peut-être difficulté. En effet le fait que l'ensemble d'arrivée B soit ordonné semble important dans votre preuve. Peut-on démontrer le résultat si B n'est pas forcément ordonné? ou juste séparable mais non métrique par exemple?
Je ne suis pas un spécialiste en topologie et j'avance peut-être des choses erronées.

[inviteb3412e7c]

Peut-être que l'on peut remplacer par un espace métrique et en posant et

En gros au lieu de se baser sur les valeurs de f on peut alors se baser sur la distance de la valeur de f avec un point fixé.

Par contre en remplaçant par un espace séparable non métrisable , on perd la construction des , peut-être peut-on trouver un contre-exemple?

On peut aussi peut-être prendre F espace séparable ordonné et prendre p et q dans un ensemble dénombrable dense de F

Si E séparable non métrisable, il semble que l'argument tient toujours, mais je ne mettrais pas ma main à couper, car J. Dieudonné ne basant pas son cours sur les espaces topologiques mais sur les espaces métrisables, je ne vois pas bien les propriétés qui sont seulement topologiques, à cause de certains résultats topologiques qui sont démontrés avec des arguments basés sur les distances.

Donc pour moi, on doit pouvoir démontrer au moins ces propriété :
Soient un espace topologique séparable, un espace métrique et une application quelconque. Alors l'ensemble des points tel que est dénombrable.

Soient un espace topologique séparable, un espace topologique séparable totalement ordonné et une application quelconque. Alors l'ensemble des points tel que est dénombrable.

Je vais essayer de rédiger les deux preuves pour m'assurer que je dis pas de grosse bétises.

[inviteb3412e7c]

Bonjour,

Aujourd'hui ce n'est pas la preuve des propriétés ci-dessus que je vais donner, surtout que la deuxième propriété me semble douteuse après réflexion.

Je vous propose un petit exercice qui m'a pris tout mon temps hier et aujourd'hui, c'est le problème 4 de la section 14 du chapitre III, le voici:

Soient un espace métrique complet, la distance sur , l'intersection d'une suite de sous-ensembles ouverts de . Soit , et, pour tout couple de points , de , posons
,
,
et .
Montrer que, sur le sous-espace de , est une distance qui est topologiquement équivalente à , et que pour la distance , est un espace métrique complet.
(Noter qu'une suite de Cauchy pour est aussi une suite de Cauchy pour , mais que sa limite dans ne peut appartenir à aucun des ).
Appliquer au sous-espace de formé des nombres irrationnels.

Pour l'instant je patauge grave! J'ai tout juste montrer que est une distance et je crois que j'ai une piste sérieuse pour montrer que et sont topologiquement équivalentes. La complexité de l'énoncé me bloque un peu dans ma réflexion. Comme vous le voyez je suis encoore loin du bout. Et vous, le trouver vous ardu?

[inviteb3412e7c]

Bon, je vous présente ce que j'ai trouvé pour l'instant:

Preuve que est définie:
existe car et . Donc est bien définie.

Preuve que est une distance.

Axiome de symétrie:
,
, trivialement donc donc les sommes et sont égales et par symétrie de , est symétrique.

Axiome de séparation:
,
, , donc , donc , donc .

Axiome de positivité:
,
, donc comme quotient de deux valeurs positives et par suite est positive. Donc .

Inégalité triangulaire:
,
, on a
Comme est croissante (), alors .
On a donc
Il reste donc à montrer que
On sait que,
donc
Comme
alors
Or et
Donc vérifie l'inégalité triangulaire.

Donc et par suite vérifie l'inégalité triangulaire.

[inviteb3412e7c]

Pour prouver que les topologies sont équivalentes, il faut montrer que les ouverts sont les mêmes, et donc que chaque boule pour une distance contient une boule pour l'autre distance, centré au même point.

Preuve que chaque boule pour centrée en , contient une boule pour de centre :
De manière triviale, on voit que la boule d'après la définition de .
En effet,

Preuve que chaque boule pour centrée en , contient une boule pour de centre :
On va d'abord montrer un lemme, si alors .
En effet, pour alors
donc
donc
donc .
Comme , on a .
Comme , alors .
Donc , le lemme est ainsi démontré.
Maintenant on peut s'attaquer à la preuve proprement dite.
Soit ,
On pose tel que , ce qui est possible car converge vers une limite finie.
On pose .
est strictement positif, car c'est le minimum d'un nombre fini de nombres strictement positifs.
Soit ,
d'après la définition de .
d'après le lemme, donc .
.
Donc .
On viens de montrer que .

Donc les deux métriques impliquent la même topologie sur .

Donc voilà où j'en suis, je suis loin d'avoir fini le problème lol ^^ Alors, s'il vous plait dites moi qu'il n'y a pas d'erreurs dans mon raisonnement

[inviteb3412e7c]

Finalement je crois que je vais y arriver à la fin de cet exercice:

Preuve que l'espace muni de la distance est complet:

Soit une suite de Cauchy dans pour la distance , trivialement est une suite de Cauchy pour car si alors d'après la définition de .

Donc comme est une suite de Cauchy pour , et comme est complet, pour admet une limite .
Si , alors soit tel que , on a .
Soit , alors , donc .
Soit , alors ,
donc ,
donc ,
donc , ce qui empêche d'être une suite de Cauchy pour , ce qui est absurde.
Donc .
Montrons maintenant que pour admet pour limite.
Il suffit de voir que toutes les boules de centrée sur contiennent une boule de centrée sur et qui contient presque tous les car est la limite de pour , donc toutes les boules de contiennent tous les sauf un nombre fini, donc est la limite de pour .

Application à l'ensemble des nombres irrationnels:
Soit avec , alors l'ensemble des irrationnels s'écrit .
Donc on peut munir d'une distance dérivée de la distance de la droite réelle qui le rend complet.

Qu'en pensez-vous?

[inviteb3412e7c]

Bon personne ne me répond, mais c'est pas grave

Là j'en suis à la section 16 chapitre III sur les espaces compacts.
Le troisième problème est sur l'étude des propriétés de la distance de Hausdorff.

J'espère être à la hauteur !

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous , peut être est il mieux d’exposer l'énoncé sera mieux pour que les lecteurs comprennent un peut ce que vous faite pour cela je ne sais si cela est l' énonce ?




Amicalement

[inviteb3412e7c]

Merci d'avoir mis l'énoncé de l'exercice. La prochaine fois j'essaierais de le faire moi-même

En plus si je peux faire comme vous et mettre une photo au lieu de taper le texte ça va me faire gagner du temps ^^

[Médiat]

Bonjour,

Attention au copyright, les courtes citations sont autorisées, la copie de trop d'exercices ne rentrerait pas dans ce cadre.

Cordialement

Médiat

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous merci Média de nous avertir .

Cordialement

[inviteb3412e7c]

Je bloque, je vois pas comment le fait que soit complet implique que soit complet. Je suis les instructions, et j'obtiens que mais j'arrive pas à minorer avec l'intersection des .

Je commence à croire que je me suis trompé de direction. Et qu'il faut que je trouve un autre raisonnement.
En fait, je n'arrive pas à faire intervenir l'hypothèse que est complet dans mon raisonnement.

Je n'ai pas montré que est fermé, mais je pense que c'est faisable sans utiliser le fait que soit complet.

Quelqu'un a une idée?

[inviteb3412e7c]

Bon ça doit être le fait qu'il se fait tard et que tout se mélange dans ma tête, mais effectivement Y est fermé car c'est l'intersection de fermés. Par contre ce qui est pas évident c'est que Y est non vide.

[inviteb3412e7c]

Bon je viens de montrer que est non vide en utilisant le fait que est complet, c'est rassurant!!!

Voilà ma démarche:
Je construit par récurrence une suite de points de tel que et implique

D'abord je construit .
Comme est une suite de Cauchy, pour posons tel que on ait . On prend dans c'est possible car est non vide.
Soit , alors car sinon serait car ce qui serait absurde.
Donc vérifie bien l'hypothèse de récurrence.

Supposons que soient construits.
Comme est une suite de Cauchy, pour posons tel que on ait .
Comme on a donc on prend dans
On a bien , .
Soit , alors car sinon serait car ce qui serait absurde.

Je vérifie que est bien de Cauchy
Soit , il existe tel que .
Soit , .

Donc admet une valeur d'adhérence dans .
Soit , comme contient tous les à partir du rang , alors et donc . Et donc n'est pas vide.

Qu'en pensez-vous ? Ai-je fait une erreur?

Maintenant je m'attaque à démontrer que est une valeur d'adhérence de

[Seirios]

Je n'ai pas lu ta solution en entier, mais il y a plus simple. De manière générale, une intersection décroissante de fermés non vides dans un espace métrique complet est non vide.

Soit une telle suite de fermés non vides. Si ne tend pas vers zéro, ce n'est pas difficile de montrer que est non vide; si les diamètres tendent vers zéro, alors en prenant , est une suite de Cauchy, et converge vers un élément .

[inviteb3412e7c]

Hum... Il ne me semble pas seirios, car dans l'exercice 2 juste avant il faut démontrer pour E espace métrique: E est compact est équivalent à toute suite décroissante de fermés non vides de E est d'intersection non vide. Et tout espace complet n'est pas compact en général.

[inviteb3412e7c]

On trouve d'ailleurs facilement l'exemple suivant dans muni d'une distance uniformément équivalente bornée à la distance de la droite réelle:
Si .
est fermé car son complémentaire est ouvert comme réunion d'ouverts. est décroissante. est d'intersection vide.

[Seirios]

Effectivement, j'ai dit n'importe quoi...

[inviteb3412e7c]

Après une journée et deux nuits de réflexions, j'ai enfin montré que avait pour limite , enfin j'espère ^^

Je démontre d'abord 3 lemmes (avec la notation la boule fermée de centre et de rayon pour la distance de Hausdorff ):

Lemme 1:
Soient , des sous-ensembles de , alors et .

Lemme 2 (grâce au lemme 1):
Soient , , une famille d'éléments de tel que .
Alors .

Lemme 3:
Soient , , une famille d'éléments de tel que .
Alors .

Enfin j'ai tout ce qu'il me faut pour montrer que a pour limite :
Soit ,
Comme est de Cauchy, posons tel que et implique .
Donc .
Donc d'après le lemme 2, .
Donc d'après le lemme 3, .
Donc implique . CQFD.

Je vous passe les démonstrations des lemmes qui me semble simple.

J'espère que vous ne me direz pas que je me suis trompé, sinon je m'arrache les cheveux ^^
D'ailleurs j'avais pas vu mais il est déjà 4h du mat. Fini les bêtises! Hop au lit!!!

[Seirios]

Pour le lemme 3, j'ai un doute : si je prends , et , alors , mais . La distance sur n'est pas bornée, mais on peut toujours se placer dans avec très grand.

[inviteb3412e7c]

Bon je dois me rendre à l'évidence, mon lemme 3 est faux. Je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir correctement aujourd'hui. Je poste demain avec de nouvelles idées j'espère...

J'ai essayé de tricher en regardant sur le net, mais j'ai trouvé qu'une démonstration qui utilise le critère de Cauchy de convergence uniforme ou un truc du genre et une distance de Hausdorff définie sur les compacts d'un evn de dimension finie. La démonstration était assez courte, mais pas du tout dans le même esprit. En attendant, avec les notions de base on doit pouvoir aussi y arriver. Aller courage!

[inviteb3412e7c]

Bon, je crois que ça y est, je lui ai tordu le coup à cette question. J'ai trouvé l'astuce qui permet de contrôler pour assez grand. Donc voilà la solution que je propose:

Soit une suite de Cauchy dans .
Posons, et .
est bien défini car est une suite décroissante d'ensembles.
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Soit .
----------------------------------------------
Comme est une suite de Cauchy, alors posons tel que implique .
----------------------------------------------
Soit , construisons une suite croissante de et une suite qui converge vers tel que:
, , et .
On pose et . On a et .
Supposons construit ,
Comme est une suite de Cauchy, posons tel que .
On prend dans , c'est possible car sinon d'où ce qui est absurde.
On a bien et .
----------------------------------------------
Montrons que est une suite de Cauchy.
Soit , posons tel que .
Supposons , alors .
Donc est de Cauchy et converge vers dans car est complet.
----------------------------------------------
Comme pour , alors .
Donc est non vide et comme est fermé comme intersection de fermés alors .
----------------------------------------------
Posons tel que , on a , donc .
On viens de montrer que .
----------------------------------------------
Soit , alors est la limite d'une suite d'éléments de .
Posons et tel que et , posons tel que c'est possible car sinon ce qui est absurde,
alors .
Donc .
Comme , alors , donc .
----------------------------------------------
De plus .
Donc .
Comme , alors , donc .
----------------------------------------------
Finissons maintenant la démonstration.
Soit , on a
.
Donc converge vers dans pour la distance de Hausdorff.
Donc est complet.



Bon là, vraiment, j'espère que c'est bon! Qu'en pensez-vous?