lim f(un) = f(lim (un))

[invitec8851179]

Bonjour,

je suis en train de préparer une leçon du CAPES : "Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence" et j'ai un doute sur une propriété que je veux mettre dedans. A savoir, est-elle du niveau lycée (ou BTS) ?

Je veux mettre que si la suite définie par ,où f est continue, et un terme initial donné, converge vers l alors l=f(l).
Déjà il faut commencer par dire que si converge vers l alors converge aussi vers l. Ensuite je pensais que dire que f est continue suffisait pour justifier que , mais j'ai un gros doute maintenant ...


De plus, pour ces types de suites (), à part expliquer comment construire ses termes graphiquement, et (peut-être, si c'est au programme) dire que l=f(l) qu'est-ce que je pourrais rajouter (outre un ou deux exercices) ?
Et plus généralement qu'est-ce que je pourrais mettre dans cette leçon à part les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométrique (et encore, elles ne sont plus au programme pour la "théorie", seulement à travers des exos) ?

D'avance merci.
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[acx01b]

salut,

si est continue et alors ...
et je pense qu'il faut (implicitement?) utiliser le fait que est uniformément continue sur un voisinage de

[invitec8851179]

Je ne vois pas ce que ceci impliquerait :/
Par contre, pourquoi utiliser la continuité uniforme, cette propriété existe pour f continue seulement (et pour le coup on ne serait vraiment plus dans le cadre des programmes).

[inviteed684306]

Salut!
Oui, la continuité simple suffit, puisqu'elle entraîne la continuité séquentielle.

Je pense qu'il faut le leur donner comme résultat à admettre et éviter d'essayer de leur démontrer que la continuité simple entraine la continuité séquentielle.

Si n'admet pas de point fixe (i.e. sa courbe ne rencontre pas la droite: ) alors, ne peut converger.
Si est croissante et alors, est croissante. Preuve par récurrence.
Si est croissante et alors, est décroissante. Preuve par récurrence.
Si est décroissante alors, ne peut être monotone.
Si est croissante et admet un unique point fixe vérifiant alors, converge vers .

Bon après-midi!

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

• soit la suite
• on suppose que
• et que est continue sur
• on suppose enfin que

on remarque que est uniformément continue sur c'est à dire qu'il existe tel que pour ,

soit très petit,

or si bien que

on a donc ce qui contredit pour suffisamment petit que


question : comment tu fais pour éviter d'utiliser la continuité uniforme sur le voisinage ?

[invite57a1e779]

qu'il existe tel que pour ,

Euh... c'est la définition d'une application lipschitizienne sur , pas de l'uniforme continuité.

Une application lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque est fausse : par exemple .

[acx01b]

c'est wiki/Théorème_de_Heine qu'il faut effectivement admettre

[acx01b]

Euh... c'est la définition d'une application lipschitizienne sur , pas de l'uniforme continuité.

Une application lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque est fausse : par exemple .

oui effectivement, et résultat je ne suis plus sûr de rien.

la démo que j'ai essayé de donner est celle qui est utile dans les cas usuels, j'avoue que je ne sais pas s'il n'y a pas des cas dégénérés où il faut d'autres arguments.