série entière

[Minialoe67]

Bonjour

Il y a quelques points de mon cours qui me semblent pas clairs, pouvez vous me les réexpliquer?

1) La série entière ∑(sin n)zⁿ a pour rayon 1 car:
=> |sin n|≤1 donc R≥1
=> sin n ne tend pas vers 0, donc R≤1
d'où R=1

Je ne vois pas du tout le lien entre "sin n ne tend pas vers 0" et "R≤1". Pouvez vous m'expliquer?

2) "Soit R' le rayon de convergence de ∑ λa_nzⁿ
Soit |z|<R: la série numérique ∑ a_nzⁿ converge, donc la série numérique ∑ λa_nzⁿ converge donc R'≥R." (phrase extraite d'une démonstration d'un théorème de cours (produit par un scalaire))
Je ne comprend pas du tout pourquoi "R'≥R"! Pour moi c'est l'inverse... expliquez moi svp.

Merci beaucoup!
-----

[invite57a1e779]

Je ne vois pas du tout le lien entre "sin n ne tend pas vers 0" et "R≤1".

La série entière diverge pour puisque son terme général ne tend pas vers 0, donc 1 n'appartient pas au disque ouvert de convergence : .

2) "Soit R' le rayon de convergence de ∑ λa_nzⁿ..., donc la série numérique ∑ λa_nzⁿ converge donc R'≥R."

Si la série converge, c'est que appartient au disque fermé de rayon , donc : . Le résultat est vrai pour tout avec : , ce qui permet de faire tendre vers pour obtenir .

[Minialoe67]

Merci beaucoup! En fait je ne m'imaginais jamais le cercle de convergence et c'est ça qui posait problème!