1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

invitef1deaee7 · 31/05/2013, 19h05

Bonjour,

je suis tombé sur un blog affirmant que 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

http://sciencetonnante.wordpress.com...7/1234567-112/

je n'attend pas que vous m'expliquiez (je ne comprendrai pas), mais je souhaitais vous faire partager mon interrogation.

ça parait tellement impensable, c'est peut-être faux aussi...

Bien à vous.

**albanxiii** · 31/05/2013, 19h32

Bonjour,

Pourtant je trouve le blog très clair....

Sinon, si vous connaissez le concept de prolongement analytique, vous pouvez vous en servir pour réfléchir à votre problème.

Exemple : $\text{[math]}$ n'est définie que pour $\text{[math]}$ et sur ce disque, cette somme vaut $\text{[math]}$ .

Mais on remarque que cette dernière expression est définie pour tout complexe différent de $\text{[math]}$ , elle est donc un prolongement analytique de la première somme, au plan complexe privé du point $\text{[math]}$ .

Maintenant, si on fait comme si on ne savait pas que la somme n'est valable que pour $\text{[math]}$ et qu'on pose $\text{[math]}$ dans l'égalité $\text{[math]}$ , on obtient $\text{[math]}$ .

C'est pareil pour la somme que vous avez indiqué, avec une autre fonction.

@+

invitef1deaee7 · 31/05/2013, 20h55

merci pour votre réponse

malheureusement je ne connais pas le concept de prolongement analytique

et (désolé) mais je ne comprend pas pourquoi $\text{[math]}$ n'est définie que pour $\text{[math]}$ et sur ce disque, cette somme vaut $\text{[math]}$ .

Cordialement

**gg0** · 31/05/2013, 21h54

Pour être clair :

C'est faux !
Sauf à changer la signification habituelle (et intuitive) de la série du premier terme.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

Dlzlogic · 31/05/2013, 22h32

Envoyé par gg0

Pour être clair :

C'est faux !
Sauf à changer la signification habituelle (et intuitive) de la série du premier terme.

Cordialement.

Bonsoir,
Pour une fois, nous sommes complètement d'accord.
Il me parait utile de préciser, pour les lecteurs assidus de mathématiques à sensation, la différence entre les mathématiques purement théoriques et qui ne reposent sur aucune hypothèse en conformité avec les constatation et observations "naturelles" et les autres qui sont démontrables, applicables, c'est à dire celles qu'on peut utiliser.

**Seirios** · 31/05/2013, 23h07

Envoyé par Dlzlogic

Pour une fois, nous sommes complètement d'accord.
Il me parait utile de préciser, pour les lecteurs assidus de mathématiques à sensation, la différence entre les mathématiques purement théoriques et qui ne reposent sur aucune hypothèse en conformité avec les constatation et observations "naturelles" et les autres qui sont démontrables, applicables, c'est à dire celles qu'on peut utiliser.

J'ai l'impression que tu es à côté du problème. Ce n'est finalement qu'un abus de notation, l'important est de comprendre à quoi cela fait référence, mais c'est tout à fait rigoureux.

Dlzlogic · 31/05/2013, 23h49

Envoyé par Seirios

J'ai l'impression que tu es à côté du problème. Ce n'est finalement qu'un abus de notation, l'important est de comprendre à quoi cela fait référence, mais c'est tout à fait rigoureux.

Oui, c'est un débat classique : les maths pour le plaisir des maths.
Une discussion tout à fait comparable sur une formule quasi identique a eu lieu sur un autre forum.
Je ferai un comparaison avec les complexes. Là, les hypothèses sont formulées de façon très précises. On sait que c'est pas vrai dans le monde réel, mais on précise bien qu'il s'agit d'une écriture particulières représentant des chose bien précisées.
Si cette relation est un abus de notation, alors elle fausse, comme l'a dit gg0. Autrement, il faut préciser "ce à quoi on fait référence".
Par exemple, si j'écris 1+1=10 c'est faux, sauf si je précise qu'on compte en binaire.
Bon, alors dans cette relation, précisons dans quel contexte on se trouve, et tout le monde y trouvera son compte.
Petit commentaire perso, avant de faire des maths "sur-réaliste" il vaut mieux dominer parfaitement les maths "réalistes".

**bobdémaths** · 01/06/2013, 00h09

Bonjour,

Envoyé par Dlzlogic

Oui, c'est un débat classique : les maths pour le plaisir des maths.

Comme tu peux le lire sur l'article du blog, c'est un peu plus que cela.

Envoyé par Dlzlogic

Je ferai un comparaison avec les complexes. Là, les hypothèses sont formulées de façon très précises. On sait que c'est pas vrai dans le monde réel, mais on précise bien qu'il s'agit d'une écriture particulières représentant des chose bien précisées.

Je ne vois pas en quoi les nombres complexes sont moins vrais (ou moins réels ?) que les nombres réels. Personne n'a jamais vu de nombre réel dans la nature, pas plus que de nombre complexe. Cependant, ces deux concepts se définissent de façon précise en mathématiques, et il se trouve qu'ils permettent de rendre compte avec fidélité de certains phénomènes physiques.

Envoyé par Dlzlogic

Petit commentaire perso, avant de faire des maths "sur-réaliste" il vaut mieux dominer parfaitement les maths "réalistes".

Certes. Mais il me semble que l'auteur du blog que tu cites démontre bien qu'il sait ce qui se cache derrière sa formule provocatrice.

**Seirios** · 01/06/2013, 00h36

Envoyé par Dlzlogic

Je ferai un comparaison avec les complexes. Là, les hypothèses sont formulées de façon très précises. On sait que c'est pas vrai dans le monde réel, mais on précise bien qu'il s'agit d'une écriture particulières représentant des chose bien précisées.

Je suis assez mal à l'aise avec ce genre de référence à un "monde réel". Outre que cela n'est absolument pas nécessaire, ce genre de considérations risque de faire abandonner certaines théories pourtant très fructueuses, même avec des conséquences dans des mathématiques plus concrètes. Cela dit, ce débat risque de nous emmener loin de la discussion initiale.

Si cette relation est un abus de notation, alors elle fausse, comme l'a dit gg0. Autrement, il faut préciser "ce à quoi on fait référence".
Par exemple, si j'écris 1+1=10 c'est faux, sauf si je précise qu'on compte en binaire.

Les abus de notation sont (extrêmement) courants en mathématiques, par soucis de lisibilité. Le tout est de les manipuler sans risque d'ambiguïté possible. Ici, il est clair que l'égalité ne se comprend pas au sens usuel.

Petit commentaire perso, avant de faire des maths "sur-réaliste" il vaut mieux dominer parfaitement les maths "réalistes".

Je me rappelle avoir vu l'utilisation de telles égalités dans des démonstrations touchant des sujets tout à fait "réalistes" ; dommage que je n'ai plus ces exemples en tête...

**gg0** · 01/06/2013, 09h45

Eaglestorm,

vu la tournure du débat, je reprécise à ton intention :
* Une notion courante de séries (les sommes d'une infinité de termes), enseignée après le bac, est que la série a une somme (converge) si la limite de la somme des n premiers termes existe et est finie. Dans ton cas, la somme des n premiers termes vaut n(n+1)/2 et sa limite est $\text{[math]}$ . Dans ce sens, l'égalité est fausse (le site que tu lisais le sous-entend bien, sinon, il n'y a pas de paradoxe, il y a les maths à reconstruire).
* D'autres notions sont possibles et même utilisées (ce qu'explique Albanxiii, ou les séries formelles, ou ..), mais on perd évidemment le caractère de somme illimitée de réels.
* Il n'y a pas de mathématiques réelles et de mathématiques irréelles. Toutes les maths sont abstraites. A divers degrés, et certains considèrent que ce qui est plus abstrait que ce dont ils ont l'habitude est "irréel", "inutile", ... Ce qui est évidemment faux.

Cordialement.

invitef1deaee7 · 01/06/2013, 12h00

Envoyé par gg0

Eaglestorm,

vu la tournure du débat, je reprécise à ton intention :
* Une notion courante de séries (les sommes d'une infinité de termes), enseignée après le bac, est que la série a une somme (converge) si la limite de la somme des n premiers termes existe et est finie. Dans ton cas, la somme des n premiers termes vaut n(n+1)/2 et sa limite est $\text{[math]}$ . Dans ce sens, l'égalité est fausse (le site que tu lisais le sous-entend bien, sinon, il n'y a pas de paradoxe, il y a les maths à reconstruire).
* D'autres notions sont possibles et même utilisées (ce qu'explique Albanxiii, ou les séries formelles, ou ..), mais on perd évidemment le caractère de somme illimitée de réels.
* Il n'y a pas de mathématiques réelles et de mathématiques irréelles. Toutes les maths sont abstraites. A divers degrés, et certains considèrent que ce qui est plus abstrait que ce dont ils ont l'habitude est "irréel", "inutile", ... Ce qui est évidemment faux.

Cordialement.

merci pour ces précisions gg0

mais que peut-on conclure de ce résultat qui ne semble pas "naturel" ? que signifie-t-il ? comment l’interpréter ? sur quel principe "non conventionnement" repose-t-il ?

Cordialement.

**Médiat** · 01/06/2013, 12h11

Envoyé par eaglestorm

résultat qui ne semble pas "naturel" ? que signifie-t-il ? comment l’interpréter ? sur quel principe "non conventionnement" repose-t-il ?

Bonjour, En notant : $\text{[math]}$ , et en donnant à $\text{[math]}$ le sens expliqué par albanxiii, tout côté "impensable" disparaît, c'est juste une autre relation qu'une égalité (comme dit par gg0)

**albanxiii** · 01/06/2013, 12h18

Re,

Je ne fais que passer...

Envoyé par eaglestorm

malheureusement je ne connais pas le concept de prolongement analytique

Vous pouvez toujours chercher la définition sur le net. Vous aurez la satisfaction de la lire, mais pour la compréhension, vu les questions que vous me posez en réponse à ma réponse, il ne faut pas y compter. Je dis ça objectivement, sans aucune volonté malsaine. C'est juste qu'il y a des prérequis avant d'aborder cette notion.
Cela dit, si vous avez le temps et la motivation, tout est possible

Envoyé par eaglestorm

et (désolé) mais je ne comprend pas pourquoi $\text{[math]}$ n'est définie que pour $\text{[math]}$ et sur ce disque, cette somme vaut $\text{[math]}$ .

Bon, là c'est pus simple. Vous pouvez chercher du côté des suites géométriques et du calcul de la somme de leurs $\text{[math]}$ premiers termes.

Si on explique un peu : j'appelle [tex}S_n = \sum[i=0}^{n} z^i[/tex].

On constate que $\text{[math]}$ , d'où on tire $\text{[math]}$ .

Si maintenant on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini, et si on veut que $\text{[math]}$ ait une limite, il faut que $\text{[math]}$ sinon le $\text{[math]}$ tendrait vers l'infini.

Et si $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , et donc le résultat que j'ai déjà donné.

@+

**Seirios** · 01/06/2013, 12h26

Pour des lectures supplémentaires sur le sujet, on pourra regarder un post sur le blog de Terence Tao, ou le livre le Hardy, Divergent series.

invitef1deaee7 · 01/06/2013, 12h48

Envoyé par Médiat

Bonjour, En notant : $\text{[math]}$ , et en donnant à $\text{[math]}$ le sens expliqué par albanxiii, tout côté "impensable" disparaît, c'est juste une autre relation qu'une égalité (comme dit par gg0)

Merci à vous !

Envoyé par albanxiii

Re,

Je ne fais que passer...

Vous pouvez toujours chercher la définition sur le net. Vous aurez la satisfaction de la lire, mais pour la compréhension, vu les questions que vous me posez en réponse à ma réponse, il ne faut pas y compter. Je dis ça objectivement, sans aucune volonté malsaine. C'est juste qu'il y a des prérequis avant d'aborder cette notion.
Cela dit, si vous avez le temps et la motivation, tout est possible

Bon, là c'est pus simple. Vous pouvez chercher du côté des suites géométriques et du calcul de la somme de leurs $\text{[math]}$ premiers termes.

Si on explique un peu : j'appelle [tex}S_n = \sum[i=0}^{n} z^i[/tex].

On constate que $\text{[math]}$ , d'où on tire $\text{[math]}$ .

Si maintenant on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini, et si on veut que $\text{[math]}$ ait une limite, il faut que $\text{[math]}$ sinon le $\text{[math]}$ tendrait vers l'infini.

Et si $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , et donc le résultat que j'ai déjà donné.

@+

Merci pour les explications !

mais effectivement, je n'ai pas le niveau requis pour comprendre. Rien qu'en pensant au travail nécessaire les bras m'en tombent.

Cordialement.

invite76543456789 · 01/06/2013, 18h10

Salut,
Il y a tout autant d'implicite dans l'ecriture $\text{[math]}$ , que dans l'ecriture $\text{[math]}$ . Dans les deux cas le premier membre n'a un sens que comme "ecriture", dans le premier cas c'est une ecriture commode pour une limite, dans le second cas c'est une ecriture commode pour la valeur d'une fonctions qu'on a défini explicitement que sur un morceau de son domaine de définition, mais qui via le principe des zeros isolés (ou du prolongement analytique) s'etend de manière unique.

**Médiat** · 01/06/2013, 19h16

Envoyé par MissPacMan

Il y a tout autant d'implicite dans l'ecriture $\text{[math]}$ , que dans l'ecriture $\text{[math]}$ .

Bonsoir,

Je suis d'accord à 100%, il y a bien un abus d'écriture dans les deux cas, mais on peut quand même dire que dans le premier cas, il n'y a rien "d'impensable" pour qui que ce soit, même non mathématicien (en faisant le calcul des sommes partielles, on peut toucher du doigt le résultat), alors que dans le deuxième cas le résultat est "impensable" pour toute personne ne connaissant pas les prolongements analytiques. En tout état de cause, ces deux abus d'écriture n'ont pas le même sens, on peut donc regretter que ce soit les mêmes notations.

invite4c555e4b · 01/06/2013, 20h30

J'ajouterais que si on regarde comme une famille sommable, on a plutôt
$\text{[math]}$ ...
Donc il faut vraiment préciser dans quel sens on entend l'égalité.
Après, de temps en temps, on se gêne pas pour écrire une fonction comme la somme de sa série de Fourier avec un égal, même s'il n'y a convergence qu'en norme 2. En fait, il suffit que ca soit clair pour tout le monde dès le départ que le symbole = (ou plutôt la somme de zéro à l'infini, je pense, mais peut etre me trompe-je) a un sens bien particulier qui n'est pas forcément celui qui est le plus attendu.
Quand on écrit pour le 1+2+3+...=-1/12 on ne fait pas la somme au sens où on ferait la somme de "tous" les termes, mais on convient que une somme infinie peut avoir un sens plus fort que ca dans le cas ou la somme de tous les termes (limite des sommes partielles) serait infinie. Par contre, on s'assure quand même que si la série est telle que la limite des sommes partielles converge, alors les deux notions de somme sont bien les même, pour ne pas avoir de collision de notations...
J'ai bon??

invite0fa82544 · 01/06/2013, 20h43

Envoyé par Médiat

...alors que dans le deuxième cas le résultat est "impensable" pour toute personne ne connaissant pas les prolongements analytiques. ....

Bonsoir,
Ramanujan ne connaissait rien de la théorie des fonctions analytiques (et donc rien du prolongement analytique) et pourtant il n'y a rien trouvé d'impensable puisqu'il a écrit cette égalité (on ne sait comment !), s'attirant il est vrai les foudres de Hill.

**invite4793db90** · 02/06/2013, 03h16

Bonsoir,

Envoyé par Armen92

Bonsoir,
Ramanujan ne connaissait rien de la théorie des fonctions analytiques (et donc rien du prolongement analytique) et pourtant il n'y a rien trouvé d'impensable puisqu'il a écrit cette égalité (on ne sait comment !), s'attirant il est vrai les foudres de Hill.

Dans le livre de Hardy, on lit aussi que Ramanujan ignorait tout des zéros de la fonction $\text{[math]}$ de Riemann (la série dont il est question dans ce fil est $\text{[math]}$ ). Ramanujan demeure un des plus grands esprits mathématiques, mais il me semble utile de rappeler ce fait pour souligner que l'intuition, aussi féconde soit-elle, a ses limites, tout particulièrement pour ces questions de « convergence ».

Cordialement.

**Médiat** · 02/06/2013, 06h45

Envoyé par Armen92

Bonsoir,
Ramanujan ne connaissait rien de la théorie des fonctions analytiques (et donc rien du prolongement analytique) et pourtant il n'y a rien trouvé d'impensable puisqu'il a écrit cette égalité (on ne sait comment !), s'attirant il est vrai les foudres de Hill.

Bonjour,
Je rectifie : le résultat est "impensable" pour toute personne, à part Ramanujan, ne connaissant pas les prolongements analytiques

**breukin** · 02/06/2013, 11h50

Cde qui est intéressant, c'est que ces sommes s'obtiennent par des canaux à première vue sans rapport (mais le rapport est peut-être caché).

On va considérer les fonctions, définies pour $\text{[math]}$ , par :
$\text{[math]}$
et pour $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Par récurrence, on a :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et plus généralement pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
où $\text{[math]}$ est un polynôme de degré $\text{[math]}$ .

En appliquant à $\text{[math]}$ , ces fonctions se prolongent en :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ce qu'on peut écrire "brutalement" par :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$

Par ailleurs, si on considère la fonction de $\text{[math]}$ de Dirichlet, définie pour $\text{[math]}$ par :
$\text{[math]}$
on a les valeurs suivantes obtenues par le prolongement analytique de la fonction $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
qui induisent donc les mêmes écritures brutales que celles ci-dessus, en partant cette fois de la fonction $\text{[math]}$ de Dirichlet pour les entiers négatifs.

La question est donc de savoir si quelle que soit la source d'application d'une méthode brutale, on va toujours obtenir les mêmes valeurs, ou bien si les deux sources présentées ci-dessus sont intimement reliées (par exemple, les polynômes $\text{[math]}$ sont intimement reliés aux polynômes et nombres de Bernouilli), ce qui explique la convergence des résultats ?

invite5f52a886 · 02/06/2013, 13h34

Bonjour,

L'égalité 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12 est déduite de l'égalité 1-1+1-1+1- ...... =1/2, égalité impossible puisque, jusqu'à preuve du contraire, la somme ou la différence d'entiers est un entier.

invite76543456789 · 02/06/2013, 13h42

Envoyé par Armen92

Bonsoir,
Ramanujan ne connaissait rien de la théorie des fonctions analytiques (et donc rien du prolongement analytique)

J'en doute fortement. Peut etre pas sous une forme "moderne", mais ce qu'il faisait c'est exactement ce qu'a ecrit albanxiii dans son premier message (et que faisait deja euler), calculer la somme d'une serie, qui donnait une fonction qui avait un sens meme là où la série n'en avait pas et en déduire la "valeur de la série" à cet endroit là. Le prolongement analytique est une manière de s'assurer que l'on ne trouvera pas deux valeurs differentes suivant la manière dont on calcule la série en fait (sous des hypotheses assez soft).
Euleur avait deja fait la meme chose avec 1-1+1-1+...=1/2.

**invite4793db90** · 02/06/2013, 14h00

Salut,

Euleur avait deja fait la meme chose avec 1-1+1-1+...=1/2.

Et davantage, il avait l'équation fonctionnelle : Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que réciproques.

Cordialement.

invite0fa82544 · 02/06/2013, 15h41

Envoyé par AIB

Bonjour,

L'égalité 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12 est déduite de l'égalité 1-1+1-1+1- ...... =1/2, égalité impossible puisque, jusqu'à preuve du contraire, la somme ou la différence d'entiers est un entier.

C'est avec cet argument que l'on "démontre" que $\text{[math]}$ et quelques autres nombres transcendants sont ... rationnels !

Dlzlogic · 02/06/2013, 15h56

Je pense aussi que l'égalité est, par définition impossible, mais c'est justement le terme et surtout la signification de "égalité" qui permet cette démonstration. Si depuis le début, on avait dit "tend vers" et redéfini le sens de '=' ou je ne sais quoi d'autre, ce "paradoxe" ne serait plus un paradoxe et on n'en arriverait pas à des choses comme 1+2+3+4+...&c. = -1/12.
En d'autres termes si on était parti de 1-1+1-1+...&c. -->1/2, on n'aurait pas pu arriver à l'égalité citée en titre. En tout cas, c'est que je crois.

invite76543456789 · 02/06/2013, 15h58

Cette égalité est parfaitement "possible" et rigoureuse. Le terme de gauche dans un cas est une limite (et une limite ne tend pas vers qqch, elle est), dans un autre cas est la valeur d'une fonction (notée de manière alambiquée) en un point, la aussi y a pas de "tend vers", c'est une égalité.

invite0fa82544 · 02/06/2013, 16h03

Bien d'autres égalités "impossibles" ou "impensables" sont parfaitement légitimes. Par exemple, si l'on croit à la théorie des distributions (et mieux vaut y croire), on a (par exemple) :
$\text{[math]}$
Ce genre d'égalité est expliquée par Gel'fand et Chilov.
Elle paraît "impensable" puisque le premier membre a tout ce qu'il faut pour être positif...

Dlzlogic · 02/06/2013, 16h14

Envoyé par MissPacMan

Cette égalité est parfaitement "possible" et rigoureuse. Le terme de gauche dans un cas est une limite (et une limite ne tend pas vers qqch, elle est), dans un autre cas est la valeur d'une fonction (notée de manière alambiquée) en un point, la aussi y a pas de "tend vers", c'est une égalité.

Alors, est-ce qu'une écriture comme
lim(1-1+1-1+1-1+ &c.)=1/2 ne serait-elle pas plus claire et surtout plus rigoureuse ?
Au moins, c'est une écriture que je comprends.
Je fais un petit parallèle avec la définition de la dérivée (en tout cas celle que j'ai apprise) : la dérivée est la limite de &c.
Mais il est vrai aussi que j'ai lu dernièrement cette autre définition : "un limite est la valeur de la dérivée de &c."
Qui a existé d'abord, l’œuf ou la poule ?

1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

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Re : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12