1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

[invite76543456789]

Alors, est-ce qu'une écriture comme
lim(1-1+1-1+1-1+ &c.)=1/2 ne serait-elle pas plus claire et surtout plus rigoureuse ?

Non pas vraiment, quand on ecrit des point de suspension en maths, cela signifie (quasiment) tout le temps une limite.
Quand on ecrit 1+1/4+1/9+1/16+...=pi^2/6, ce que cela veut dire c'est la limite de la suite définie par u_0=1, et u_{n+1}=u_n+1/n^2 est pi^2/6. L'ecriture avec les points de suspension ne désigne pas la suite en elle meme, mais bien sa limite (si elle existe).
Notez que dans le cas 1-1+1-...=1/2 cela veut dire encore autre chose, le terme de gauche ne désigne pas la limite de la suite définie par u_0=1 et u_{n+1)=u_n-(-1)^n (qui n'existe pas), le terme de gauche désigne qqch d'autre. C'est juste une histoire de notations et de conventions.

Mais la difficulté (ou l'ambiguité) n'est pas dans le signe =, elle est dans ce que celui qui ecrit cette egalité entend par le membre de gauche (ou plus generalement le contexte, et les conventions du contexte dans lequel s'ecrit cette égalité).

A noter que quand meme, ce petit jeu de notation qui peut paraitre a premiere vue inocent, peut donner de (tres) puissants "insights" sur des questions profondes et delicates (comme le calcul de "determinants" ou de traces d'opérateurs sur des Hilberts, etc...), et que cela a meme des applications tres concretes en physique.

Je fais un petit parallèle avec la définition de la dérivée (en tout cas celle que j'ai apprise) : la dérivée est la limite de &c.
Mais il est vrai aussi que j'ai lu dernièrement cette autre définition : "un limite est la valeur de la dérivée de &c."
Qui a existé d'abord, l’œuf ou la poule ?

La definition de limite arrive avant celle de dérivée. Et en fait est beaucoup plus generale.
-----

[AIB]

Si 1-1+1-1+1-1+ ... =1/2 alors (1+1+1+ ... ) - (1+1+1+ ... ) =1/2 et, par suite, 0=1/2 et

1+2+3+4+5+6+7+… = 0 .

C'est peut être rigoureux, mais c'est faux .

[Dlzlogic]

La definition de limite arrive avant celle de dérivée. Et en fait est beaucoup plus generale.

Là nous sommes d'accord.
On trouve des "explications" relatives à l'infini, je pense à la possibilité de "peindre un mur de longueur infinie avec un nombre fini de pots de peinture".

J'ai trouvé une image amusante pour lim(1-1+1-1+1) = 1/2.
Une grenouille est sur une route. Elle saute et naturellement elle retombe, et ainsi de suite. La hauteur de son saut est 1(m.), elle continue à sauter jusqu'à perte de vue.
Donc, la probabilité qu'elle se trouve à une hauteur = 0.5 est double de celle qu'elle se trouve au sol, ou en l'air, donc p = 0.5-1/2. Et, de loin, pourra avoir l'impression qu'elle est à une hauteur de 0.5(m.) au-dessus du sol.
Essayez de trouver une image similaire avec 1+2+3+4+ &c. = -1/12.

[invite76543456789]

Si 1-1+1-1+1-1+ ... =1/2 alors (1+1+1+ ... ) - (1+1+1+ ... ) =1/2 et, par suite, 0=1/2 et

1+2+3+4+5+6+7+… = 0 .

C'est peut être rigoureux, mais c'est faux .

Ce que vous ecrivez est faux oui, mais l'egalité 1-1+1-...=1/2 est correcte, l'erreur se situe dans le fait que (1+1...)-(1+1+...)=1-1+1-1+... ceci est faux.
Dans le meme genre il est faux aussi que 1-1+1-1+...=-1+1-1+1... vous supposez implicitement que les propriétés naturelles de l'addition (des réels) s'etendent aux series divergentes (ou plutot a leur procédés de sommation) et c'est là que vous faites erreurs.

[AIB]

La commutativité et l'associativité seraient-elles illégitimes pour la somme illimitée d'entiers 1-1+1-... ?

[invite4793db90]

Salut,

pour les séries semi-convergentes déjà (par exemple ), un théorème de Riemann illustre les difficultés qui jaillissent dès lors que l'on considère les processus de sommation : on peut réarranger l'ordre des termes pour obtenir n'importe quelle somme.
On peut donc a fortiori écrire n'importe quoi avec des séries qui ne convergent pas.

Cordialement.

[breukin]

déjà, mais uniquement pour la commutativité.

[invitef1deaee7]

Là nous sommes d'accord.
On trouve des "explications" relatives à l'infini, je pense à la possibilité de "peindre un mur de longueur infinie avec un nombre fini de pots de peinture".

J'ai trouvé une image amusante pour lim(1-1+1-1+1) = 1/2.
Une grenouille est sur une route. Elle saute et naturellement elle retombe, et ainsi de suite. La hauteur de son saut est 1(m.), elle continue à sauter jusqu'à perte de vue.
Donc, la probabilité qu'elle se trouve à une hauteur = 0.5 est double de celle qu'elle se trouve au sol, ou en l'air, donc p = 0.5-1/2. Et, de loin, pourra avoir l'impression qu'elle est à une hauteur de 0.5(m.) au-dessus du sol.
Essayez de trouver une image similaire avec 1+2+3+4+ &c. = -1/12.

merci pour l'image, ça permet d'être plus parlant

mais autant ça peut paraitre "logique" que 1-1+1-1+1... soit "égal" à 1/2
autant 1+2+3+4+5+6...=-1/12 c'est impensable. Comment une addition infinie de chiffres positifs peut donner une "limite" négative...

c'est dingue les maths...

[Dlzlogic]

Bonsoir
Je crois que la réponse est simple :
1-1+1-1+1-...=1/2 est faux, alors que lim(1-1+1-1+1-...) = 1/2 est plus ou moins acceptable
Mais en partant d'une hypothèse fausse (parce qu'on oublie d'écrire lim) on peut démontrer n'importe quoi, et on s'amuse beaucoup.

[inviteccac9361]

Bonjour,

On peut ensuite observer que

A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)

http://sciencetonnante.wordpress.com...7/1234567-112/

On peut observer ça, vraiment ?

Ou doit-on dire que la parenthèse se décale d'un cran, "dans l'infini" ?
J'imagine qu'elle ne se situe pas au delà de l'infini... la parenthèse.

[invite76543456789]

Bonsoir
Je crois que la réponse est simple :
1-1+1-1+1-...=1/2 est faux, alors que lim(1-1+1-1+1-...) = 1/2 est plus ou moins acceptable
Mais en partant d'une hypothèse fausse (parce qu'on oublie d'écrire lim) on peut démontrer n'importe quoi, et on s'amuse beaucoup.

Non! C'est pile poil l'inverse!
Le terme limite n'a pas a apparaitre ici, ecrire lim (1-1+1...) est un non sens (a moins de considerer ca comme la limite de la suite constate qui vaut 1-1+1-1... a tous les rangs).
C'est bien l'egalité 1-1+1-1...=1/2 qui est correcte et qui a un sens (quand on sait ce qu'elle veut dire, je reprete que le terme de gauche ne désigne justement pas une limite).

D'ailleurs sur le site de Xoxopixo on peut lire ceci

Pour ma part, je l’ai croisée pour la première fois lors d’une étude sur l’effet Casimir. Cet effet (qui n’a rien à voir avec l’île aux Enfants) a été prédit par le physicien hollandais Hendrik Casimir, et prévoit que deux plaques parallèles conductrices placées dans le vide vont s’attirer à cause des fluctuations de l’énergie du vide (énergie dont je parlais dans ce billet).

Et pour calculer la force subie par les plaques, on utilise l’égalité 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 ! Et ça marche, car cette force a été mesurée expérimentalement !

ce qui devrait rassurer les scpetiques sur la fiabilité de ce genre de resultat (mais mathématiquement, on a meme pas besoin de ca, juste de connaitre les defintions).

[Deedee81]

Salut,

Pour préciser, j'aimerais quand même dire que dans le cas de l'effet Casimir, on peut calculer le résultat prédit sans utiliser une égalité de ce genre. En utilisant des régulateurs appropriés et avec des opérations mathématiques rigoureuses évitant de jouer avec l'infini ou avec des séries non convergentes. Voir dans le Quantum field theory de Itzykson et Zuber par exemple.

[invite76543456789]

avec des opérations mathématiques rigoureuses évitant de jouer avec l'infini ou avec des séries non convergentes

Juste pour enfoncer les clou, ces manipulations de series divergentes (ou de l'infini for that matter) sont rigoureuses (je ne dis pas que tu dis le contraire mais ta formulation pourrait laisser penser le contraire).
D'ailleurs T.Tao (pas un manchot en maths ) a fait un post elementaire sur son blog au sujet de ces identités.
Voir ici

[Dlzlogic]

Tout ceci devrait bien pouvoir s'appliquer au système bancaire et tirer l'occident de ce mauvais pas.
Mais si la compréhension de ces notions me conduit à ne plus pouvoir faire un calage de plans, alors, je préfère m'abstenir.

sur son blog au sujet de ces identités.

Même si elles ne sont pas remarquables, est-ce que le terme "identité" est vraiment bien choisi. Ne pas oublier que "identité" a un sens plus fort que "égalité".
Dans ce sujet, parle-t-on de math ou d'hypothèses philosophiques ?

[invite76543456789]

Tout ceci devrait bien pouvoir s'appliquer au système bancaire et tirer l'occident de ce mauvais pas.
Mais si la compréhension de ces notions me conduit à ne plus pouvoir faire un calage de plans, alors, je préfère m'abstenir.

Quel rapport?

Même si elles ne sont pas remarquables, est-ce que le terme "identité" est vraiment bien choisi. Ne pas oublier que "identité" a un sens plus fort que "égalité".

Dans ce sujet, parle-t-on de math ou d'hypothèses philosophiques ?

On parle de math et comme dans tous les mathématiques, on fournit des preuves de ce qu'on avance (contrairement à ce que vous racontez à droite et a gauche voir ici), ici albanxiii a donnée une (esquisse de) preuve a ces identités dès la première page. Il y a plusieurs preuves aussi sur le blog de Terry Tao.
Mais bon j'ai peu d'espoir de faire comprendre cela à qqun qui ne comprend deja pas que 0,9...=1 et qui affirme

les "..." n'ont pas vraiment de sens précis

alors qu'on vient pourtant de lui expliquer le contraire (et que les point de suspension ont une définition precise suivant le contexte, qu'il est important de connaitre où le cas echeant de preciser, ici j'ai précisé plusieurs fois la définition rigoureuse de ces points de suspension, mais a la limite s'ils vous derangent remplacez cela par , là pas de point de suspensions).

[Dlzlogic]

(contrairement à ce que vous racontez à droite et a gauche voir ici),

Ca s'appelle de la diffamation.

[invite76543456789]

Y a juste a cliquer sur le lien pour s'en assurer hein....

Il y en qui disent "c'est vrai" mais n'apportent ni preuve ni même argumentation

[Deedee81]

Juste pour enfoncer les clou, ces manipulations de series divergentes (ou de l'infini for that matter) sont rigoureuses (je ne dis pas que tu dis le contraire mais ta formulation pourrait laisser penser le contraire).
D'ailleurs T.Tao (pas un manchot en maths ) a fait un post elementaire sur son blog au sujet de ces identités.
[/url]

Ah oui, bien sûr, je ne dis pas le contraire. Ma formulation était ambigüe. Je voulais juste dire que pour Casimir on pouvait s'en passer.

[stefjm]

La suite :
http://sciencetonnante.wordpress.com...s-divergentes/

[acx01b]

quelqu'un comprend ceci :
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

?

[azizovsky]

Salut , il y'a aussi :
http://forums.futura-sciences.com/ma...-negative.html

[azizovsky]

Salut , la réponse est ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Grandi
on peut lire :..En fait, les deux affirmations peuvent être précisées et prouvées, mais seulement en utilisant des concepts mathématiques bien définis qui furent développés au XIXe siècle. À la fin du XVIIe siècle avec l'introduction du calcul infinitésimal, mais avant l'avènement de la rigueur moderne, les tensions entre les réponses ont alimenté une dispute violente et sans fin entre mathématiciens.

[Médiat]

quelqu'un comprend ceci :
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

?

Bonjour,

C'est un des pires articles mathématique de wikipedia .

En tout état de cause, c'est lié à la formule d'Euler Maclaurin.