Serie entière

[invite4382e34e]

Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi une série entière de Taylor ne correspond pas à sa fonction au voisinage de x0. Si on en prenait le développement limité, cela jouerait. Tandis qu'avec la série entière on développe à l'infini donc elle devrait être encore plus précise. C'est le fait que cela soit faux qui me pose problème...

Merci d'avance et bonne soirée

Ch.
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[invite57a1e779]

Le développement limité, pour un ordre fixé , compare localement, le comportement de et du polynôme lorsque tend vers .

La série entière, pour une valeur fixée de la variable, s'intéresse au comportement de la somme partielle lorsque tend vers .

Il n'y a aucun rapport entre les deux points de vue.

C'est la bonne vieille fonction prolongée par : il est classique d'établir que ce prolongement est de classe avec toutes les dérivées nulles à l'origine.

Point de vue du développement limité : pour tout ordre , on a , autrement dit tend vers en plus vite que toute puissance de x.

Point de vue de la série entière : la série de Taylor de est nulle, donc converge en tout point, de somme nulle alors que ne s'annule qu'en . Mais que l'on se place pour , très proche de , ou pour , très loin de 0, le fait de dire que la série de Taylor ne converge pas vers n'a rien à voir avec un développement limité qui indique ce qui se passe lorsque tend vers .

En particulier, il est faux de penser qu'augmenter l'ordre du développement limité améliore la précision numérique de l'approximation de la valeur de .

[invite4382e34e]

D'accord mais si on prend la série lorsque x tend vers x0 trouve-t-on le développement limité? On dit que la fonction est analytique en x0 si justement sa série est égale à la fonction en se point, est-ce qu'il y a un critère qui pourrait me faire comprendre d'où provient la nuance?

Merci encore et bonne soirée.

Ch.