norme d'une fonction à valeurs réelles

[Lucien-O.]

Bonjour,

Pourriez-vous me dire ce que vaut ||f|| sur un intervalle.

Cordialement
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[gg0]

ça dépend de la norme utilisée (il y en a une infinité).

Si tu as trouvé ça dans un document sérieux, la norme est précisée auparavant.

Cordialement.

[gg0]

A noter : Même pour des objets bien plus simples, la norme est à définir. Par exemple pour un couple de réel (a,b), on utilise comme norme ou max(|a|,|b|), qui sont les plus courants, mais pour tout réel k>0, ou k.max(|a|,|b|) conviennent aussi.

[inviteea028771]

Pour une "fonction a valeur réelle" définie sur I, il y a généralement 3 normes usuelles :

La norme du sup :
ou la version pour les fonctions définies presque partout :

La norme L1 :

La norme L2 :


En général, on muni les fonctions continues de la norme infinie (ça rend l'espace complet)

[A voir en vidéo sur Futura]

[maxwellien]

Bonjour, quel est l'intérêt d'avoir une norme plus grande que 2? espace complet?
De plus avez vous un exemple mathématique pour la norme L2

[gg0]

A priori,

la norme infinie n'a aucune raison d'exister, si la fonction n'est pas bornée; la norme 1 n'existe que pour les fonctions intégrables, la norme 2 concerne les fonctions de carré intégrable. Pour la fonction qui est f(x)=1/x pour x non nul et f(0)=0, aucune de ces normes n'est utilisable.

Il serait agréable que Lucien_O vienne expliquer de quoi il veut parler.

Cordialement.

[Lucien-O.]

Merci de vos réponses!
Oui, effectivement, le document devrait préciser sa définition auparavant. Ce n'est pas le cas,...
Je soupçonnais (dans le cadre d'une proposition sur les intégrales en analyse) quelque chose du genre ||f|| = sup - inf donc, en l’occurrence, ce doit être la norme du sup que vous évoquez Tryss. Que signifie l'indice infini ?
Bonne soirée.

[Lucien-O.]

Je vous poste en pièce jointe la proposition sur laquelle je suis :



Il y a quelque chose qui me chiffonne, si on utilise comme norme sup f sur [a,b] alors [sup f - inf f] sur [a,a+delta], par exemple, n'est pas nécessairement <= à la norme de f,...Puisque, si l'infimum de f sur [a,a+delta] est négatif, rien ne garantit qu'il ne vient pas compenser le fait que sup f sur [a,a+delta] <= sup f sur [a,b] ?

[inviteea028771]

Merci de vos réponses!
Oui, effectivement, le document devrait préciser sa définition auparavant. Ce n'est pas le cas,...
Je soupçonnais (dans le cadre d'une proposition sur les intégrales en analyse) quelque chose du genre ||f|| = sup - inf donc, en l’occurrence, ce doit être la norme du sup que vous évoquez Tryss. Que signifie l'indice infini ?
Bonne soirée.

C'est juste une notation, mais qui se justifie :

Si on note alors

[Lucien-O.]

Ok ! C'est bon à savoir, je prends note.

[inviteea028771]

En fait ton problème est très simple : on majore sup - inf, non pas par ||.||, mais par 2||.|| (on majore le sup par ||.|| et l'inf par ||.||)

[Lucien-O.]

Et le fait que ce soit une soustraction ne change rien puisque la norme est donnée par le sup de la valeur absolue. Donc même si - inf revient à ajouter |inf|, on peut majorer par ||f||. Merci

[gg0]

Tu remarqueras que ta fonction est bornée, ce qui permet d'utiliser la norme infinie. C'est d'ailleurs presque toujours ce qu'on utilise pour des fonctions seulement bornées.

Cordialement.

[Lucien-O.]

Sans doute est-ce la raison pour laquelle la norme n'est pas précisée dans le livre.

Bien à vous.