[1eS] Tangente à deux courbes

[invite1e3b132d]

Bonjour à tous.

J'ai cherché longtemps le problème que voici:

J'ai deux fonctions:

f(x)=x²+2x+2 et g(x)=-x²+2x

Je dois démontrer qu'il existe deux droites tangentes a la fois a l'une et a l'autre des deux courbes.

J'ai commencé par dériver les fonctions, et trouvé les équations des tangentes en fonction de l'abscisse a:

y1(par rapport a f) = -a²+2x+2xa+2

et

y2(par rapport a g) = a² -2 xa +2x


Le probleme est que bien évidemment les tangeantes doivent etre égales, non ?

Or en mettant ces deux équations en égalité, je ne parviens pas à résoudre le problème

Peut etre me suis-je trompé dans les équations de tangentes ou bien carrément de la manière d'aborder le problème...

Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance de vos réponses !
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[matthias]

Peut etre me suis-je trompé dans les équations de tangentes ou bien carrément de la manière d'aborder le problème...

As-tu pensé qu'une droite pouvait être tangente à la courbe de f en un point d'abscisse a, et tangente à la courbe de g en un point d'abscisse b, sans qu'on ait nécessairement a=b ?

[invite1e3b132d]

oui excusez moi j'ai oublié ce paramètre dans mon explication

J'y ai effectivement pensé mais je me retrouve alors avec une équation mettant en relation deux inconnues...
que je n'arrive pas a résoudre...

[matthias]

Plutôt que d'utiliser directement l'équation de la tangente, pense en terme de coefficient directeur (et donc de dérivée).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Exprime les équations de tes tangentes T_f(a) et T_g(b) sous la forme y = m*x + p.

Effectue les égalités entre les 2 coeff. directeurs et les 2 ordonnées à l'origine.
=> Un système à 2 équations à 2 inconnues (a et b)
Tu devrais t'en sortir !

Coup de pouce : une des réponses est a = -1...

Duke.

[inviteae196a7a]

ayant moi meme cherché la reponse (et n'ayant pas trouvé..) je cherche a comprendre ta solution.
qu'entend tu par "Exprime les équations de tes tangentes Tf(a) et Tg(b) sous la forme y = m*x + p. " ???
ce que tu dit est impossible tant qu'on a pas donné de valeur à a dans
y1(par rapport a f) = -a²+2x+2xa+2
ou dans
y2(par rapport a g) = a² -2 xa +2x

[matthias]

Si vous ne voulez pas vous compliquer la vie, il suffit de voir que si une même droite est tangente à f en un point d'abscisse a et tangente à g en un point d'abscisse b, alors f'(a) = g'(b) ce qui donne une relation extrèmement simple entre a et b ...

[Duke Alchemist]

Re-

De f(x), tu déduis f'(x).
Tu exprimes l'équation de la tangente à C_f en un point d'abscisse a quelconque soit :
T_f(a) : y = f'(a)*(x-a) + f(a)
que tu peux écrire sous la forme
T_f(a) : y = f'(a)*x -a*f'(a) + f(a)

Tu fais la même chose pour la fonction g en un point d'abscisse b quelconque...

Il te restera alors à résoudre le système :
f'(a) = g'(b)
-a*f'(a) + f(a) = -b*g'(b) + g(b)

Tes inconnues étant (bien sûr) a et b.
Est-ce clair ?

Duke.

[Duke Alchemist]

Si vous ne voulez pas vous compliquer la vie, il suffit de voir que si une même droite est tangente à f en un point d'abscisse a et tangente à g en un point d'abscisse b, alors f'(a) = g'(b) ce qui donne une relation extrèmement simple entre a et b ...

Certes, mais tu as une infinité de solutions alors, non ?
D'où l'intérêt de la deuxième équation du système.


Duke.

[matthias]

Certes, mais tu as une infinité de solutions alors, non ?
D'où l'intérêt de la deuxième équation du système.

Je n'ai jamais prétendu que je donnais une solution complète, juste des indices ..............

[Duke Alchemist]

Je n'ai jamais prétendu que je donnais une solution complète, juste des indices ..............

Autant pour moi !

[invite1e3b132d]

Merci de vos réponses je vais essayer d'aborder le probleme en créant donc un systeme

[invite164710e8]

Si tu veux une methode simple tu fais un graphe de tes 2 courbes tu traces visuellement la ou les tangentes puis aprés tu redige" on verifie nos solutions " et tu montre quel sont bien egales mathematiquement
J'espere que tu ma compris ...

[matthias]

Non, je ne pense pas qu'un dessin suffise. C'est bien de le faire, on peut effectivement vérifier que les solutions que l'on a trouvé graphiquement sont bonnes, mais pas facile de démontrer rigoureusement que ce sont les seules solutions possibles avec un dessin (même si c'est visuellement évident).

[invite164710e8]

ba chui en term S et ma prof a mis une super note a ceux qui ont fait ca alors que moi j'ai tout calculé et ma note était plus basse (dailleurs g t degouté )

[matthias]

Pourquoi pas. Je ne nie pas l'utilité du dessin, je conseillerais même de commencer par ça, mais le but est quand-même censé être de faire une démonstration rigoureuse, le résultat en lui-même n'étant pas particulièrement intéressant.