Algèbre, Module

[jules345]

Bonjour,

Voila une question me trotte dans la tête, pourquoi s'intéresse t-on au modules sur des anneaux principaux ? quel est la motivation ?
Quelles en est l'intérêt ? Je vois mon cours où il y a pas mal de propriété traitant de cela comme par exemple si M est un A-module libre de dimension m alors tout sous-module de M est libre de dimension <=m

Où bien si M est un A-module de type fini, tout sous-module de A est de type fini.

Ou encore le théorème des bases adaptées.

Je sais bien qu'un anneau principal est intègre et que tous les idéaux d'un tel anneau sont principaux mais comment exploitez cela ?

Merci encore
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux poser le même genre de question pour les espaces vectoriels, pour les groupes, etc. Ces structures algébriques sont des constructions faites ad hoc : on justifie leur introduction par la fréquence de leurs apparitions dans les problèmes traités.

[jules345]

Merci,

oui d'accord mais pourquoi le caractère principal est-il nécessaire ? qu'en est-il si l'on considère seulement des anneaux intègres ?

[Seirios]

Je dirais que c'est ce qui permet de faire de l'arithmétique (pour la définition de pgcd, par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Suite2]

Un grand problème de l'algèbre et c'est ce qui prouve très souvent l'intellignece des chercheurs algébristes, eh bien c'est qu'il y a tellement de notions évoluées, qu'avant de pouvoir comprendre les choses, il faut des années de reculs.... Cette phrase ne veut pas dire grand chose, mais pour l'exemple : un chercheur en géométrie algébrique passe environ 10 ans à comprendre les notions et les concepts avant de commencer à faire quelque chose (écrire un article où il y a des informations intérressantes). Bref, petit intermède culturel fini, place aux maths.

La définition d'un module peut s'étendre à des anneaux quelconques. En théorie algébrique des nombres, mis à part les anneaux de polynômes sur un corps, on rencontre très peu d'anneau principaux. Ce sont des anneaux très confortables, mais rares. Il y a un une sorte d'intermédiaire qui s'appelle les anneaux noethériens, et qui permettent de garder un certain confort et de coller avec une classe plus large d'anneaux rencontré en arithmétique.

Confort ? Oui ! Par exemple, on prend un M un A-module libre de type fini. On dit que M est de présentation finie s'il est le quotient d'un par un sous-module de type fini. Un module de présentation finie est en particulier de type fini. La réciproque est vraie lorsque A est noethérien, mais surtuot pas dans le cas général ! On a le même problème avec les sous-modules! C'est assez bizarre, mais c'est comme cela, et cette pathologie fait toute la difficulté de quelques problèmes ouverts actuels.

En théorie algébrique des nombres, on s'intéresse à des extensions de coprs. Par exemple regardons . Pour des raisons algébriques, on s'intéresse alors à l'anneau des entiers de l'extension quadratique , il s'agit de . Eh bien les idéaux,

et

sont des idéaux premiers, non principaux!

Ce genre de problème est très courant, par exemple pensez au problème ouvert : A un groupe fini donné, existe-t-il une extension de corps de nombre dont le groupe de classe est le groupe en question ?

Bon je vais arrêter d'aller un peu trop loin... Au risque de ne plus du tout répondre à la question

[Seirios]

un chercheur en géométrie algébrique passe environ 10 ans à comprendre les notions et les concepts avant de commencer à faire quelque chose (écrire un article où il y a des informations intérressantes).

Dix ans, ce n'est pas un peu beaucoup ?

[0577]

Bonjour,

Voila une question me trotte dans la tête, pourquoi s'intéresse t-on au modules sur des anneaux principaux ? quel est la motivation ?
Quelles en est l'intérêt ?

Une raison "pratique": le cas des modules sur les anneaux principaux contient deux cas particuliers d'intérêt peut-être plus "évident" :
1) un -module est un groupe abélien
2) si k est un corps, un k[X]-module est la même chose qu'un endomorphisme d'un k-espace vectoriel.

Une raison "théorique": en fait, on s'intéresse aux modules sur les anneaux principaux tout simplement parce que c'est le cas le plus simple.
En fait, on s'intéresse aux modules sur des anneaux plus généraux mais c'est juste plus compliqué (par exemple, si on fait de la théorie algébrique
des nombres, on s'intéresse aux modules sur les anneaux de Dedekind et plus généralement, une grande partie de la géométrie algébrique s'intéresse
aux modules sur des anneaux de "dimension supérieure").

[Suite2]

Dix ans, ce n'est pas un peu beaucoup ?

Malheureusement, il me semble que c'est bien le cas! Je ne dis pas que les cherhceurs de géométrie algébrique passent tous 10 ans à étudier 500 bouquins avant d'écrire un article... en revanche il est "certain" qu'ils passent disons au moins 6 ans (pour faire plus petit), avant de produire un article de recherche où il y est écrit des résultats qui prouvent une compréhension des problèmes! Demander à l'équipe de recherche de Orsay (Paris-Sud), et par exemple à C. Francès (qui travaille sur la géométrie différentielle, et qui vous expliquera en quoi la géométrie algébrique nécessite "des millions" de fois plus de pré-requis que la géo diff )... Je ne pense pas me tromper en disant 10 ans, mais peut-être que j'ai mal expliqué la phrase "avant de produire quelquechose d'intéressant" ?

Un exemple d'anneau de Dedekind, cf mon message précédent^^

[toothpick-charlie]

c'était Morse qui se plaignait de la quantité de notions "abstraites" préalables au développement de la géométrie algébrique et qui disait "forever the foundations and never the cathedral".

[jules345]

D'accord merci à tous pour vos précisions

Une petite questions me trotte dans la tête j'ai cette proposition suivante dans mon cours, lorsque A est un anneau principal et que M est un A-module libre de dimension m alors tout sous-module de Mm est libre de dimension <=m

Dans la preuve il est écrit ceci: lorsque m=1, M est isomorphe au A-module A. Les A-sous-modules sont ses idéaux. Pourquoi ? je vois bien les les idéaux de A sont des A-sous-modules mais pourquoi a t-on l'égalité ?

Merci

[toothpick-charlie]

un module à gauche libre M de dimension 1 a par définition un générateur, disons m, ce qui signifie que tout x de M s'écrit am avec a dans A. On a bien une bijection a-> x. C'est facile de voir que c'est un isomorphisme de A-modules à gauche (A étant un A-module à gauche).

[azizovsky]

Salut , "" la notion de module est porteur d'un principe fondamental élaboré en algèbre il y'a un demi-siècle, ce principe consiste en ce que l'étude de tous système algébrique doit porter non seulement sur les propriétés internes de ce système mais aussi sur toutes ses représentations (dans toute la force du terme ) "".(A.Kostrikin,introducti on à l'algèbre ). simple exemple ,( M.Naïmark,A.Stern ,théorie des représentations des groupes)