SVD (décomposition en valeurs singulières)

[invite5ee9ec33]

Bonjour à tous, je cherche à comprendre comment faire une SVD pour des matrices assez basiques, je galère un peu:
Je dois trouver la SVD de la matrice suivante:



Je calcule A'A qui se trouve valoir AA':



Et à partir de là, on a directement les valeurs propres:

Du coup on peut facilement avoir les valeurs singulières. Mon problème est que je ne sais pas du tout comment trouver U et V' pour avoir:



Et petite apparté, quelqu'un sait comment trouver les vecteurs propres d'une matrice diagonale?

Merci d'avance pour vos lumières.
-----

[invited4f3b9a2]

Salut, je vais prendre pour acquis que tu as des connaissances de base en algèbre linéaire, si ce n'est pas clair, fais-le savoir! Alors, la matrice U est simplement la matrice orthonormale formée des vecteurs propres de la matrice AA', donc tu trouves les vecteurs propres associés à ta matrice AA' (il y a plusieurs façon de faire cela: pour ma part, pour la première valeur propre (9), j'irais soustraire 9 à chaque élément de la diagonale, je trouverais l'ensemble solution de ce système (en posant la nullité), et, en omettant les paramètres multiplicatifs, j'en déduirais le (les) vecteur(s) propre(s) (idem pour la seconde valeur propre)). D'ailleurs je propose d'organiser tes valeurs propres/vecteurs propres en ordre décroissant toujours, cela évite des problèmes). Ensuite, si tes vecteurs propres ne sont pas orthogonaux, tu utilises le procédé de Gram-Schmidt et, enfin, tu normalises ces vecteurs pour les rendre unitaire. Tu places les vecteurs colonnes dans une matrice (en respectant l'ordre décroissant des valeurs propres et voilà! Tu as ta matrice U. Pour la V', c'est la matrice transposée de la matrice orthonormale formée par les vecteurs propres de A'A (le calcul est similaire). La matrice Sigma (S) est une matrice diagonale de même format que la matrice A et formée par la racine carrée des valeurs propres non nulle (alors, en résumé, tu fais la racine carré de tes valeurs propres non nulle, tu dresses une matrice de même format que la matrice initiale A, tu mets tes valeurs singulières (racine carrée de valeur propre) de façon décroissante aux positions où i=j et tu remplis les espaces vacants par des 0! Le tour est joué , en espérant t'avoir aidé! (je ne suis pas certain de ce que j'avance, je n'ai que 18 ans, donc jamais eu de cours sur ce type de décomposition, je me base sur ce que j'ai appris dans mon cours d'algèbre linéaire au cégep et à la logique haha, mais j'ai testé la méthode sur des exercices sur le net et tout fonctionne à merveille!)

[invite16d281b3]

Merci je vais essayer ta méthode ça semble sympa