equirépartition

[invite1237a629]

donc si Q est dénombrable cela voudrait dire que l'ensemble des rationnels dans [0;1] est dénombrable?

Ben euh... oui
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[taladris]

Une base d'ouverts du genre ]p ; q[ (avec p et q dans Q) n'a pas besoin de l'axiome du choix il me semble ...

Pour montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints, il faut l'axiome du choix, non?

[Médiat]

Pour montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints, il faut l'axiome du choix, non?

Je suppose que tu veux dire que pour "choisir" une suite de rationels qui tend vers un réel donné, il faut l'axiome du choix, c'est bien ça ?
Si oui, je crois que ce n'est pas exact, pour un réel donné x, la suite des rationnels (pour un a entier > 1, 10 par exemple) u_n = E(x*aⁿ)/aⁿ convient très bien.

[taladris]

Je suppose que tu veux dire que pour "choisir" une suite de rationels qui tend vers un réel donné, il faut l'axiome du choix, c'est bien ça ?
Si oui, je crois que ce n'est pas exact, pour un réel donné x, la suite des rationnels (pour un a entier > 1, 10 par exemple) u_n = E(x*aⁿ)/aⁿ convient très bien.

non. Je voulais dire en fait, que pour montrer que si une famille est une famille d'intervalles non vides ouverts disjoints deux à deux, je crois me souvenir qu'il faut l'axiome du choix.

Et pour montrer que tout ouvert de R est réunion d'intervalles ouverts disjoints, il faut le résultat précédent.

Mais tu as sans doute raison.

[Médiat]

non. Je voulais dire en fait, que pour montrer que si une famille est une famille d'intervalles non vides ouverts disjoints deux à deux, je crois me souvenir qu'il faut l'axiome du choix.

Tu fais allusion à :
http://forums.futura-sciences.com/sh...d.php?t=181729
Je croyais avoir démontré (avec une précision de homotopie) que l'axiome du choix n'était pas nécessaire justement .

[invite35452583]

non. Je voulais dire en fait, que pour montrer que si une famille est une famille d'intervalles non vides ouverts disjoints deux à deux, je crois me souvenir qu'il faut l'axiome du choix.

Et pour montrer que tout ouvert de R est réunion d'intervalles ouverts disjoints, il faut le résultat précédent.

Mais tu as sans doute raison.

La preuve de " Un ouvert de R est une union (au plus) dénombrable d'intervalles ouverts" se montre sans l'AC.
Un connexe de R est un intervalle.
R est localement connexe donc les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes. Donc un ouvert est l'union d'intervalles ouverts disjoints (les composantes connexes).
Il reste à voir que ces composantes connexes sont au plus dénombrable. La densité de Q se montre par la méthode indiquée par médiat par exemple.
Maintenant, on choisit ainsi. Il existe une bijection de Q avec N f : Q->N. Pour un intervalle donné on choisit parmi les rationnels, ils existent, celui de plus petite image par f.
Quand on sait définir explicitement le choix on n'a plus besoin de l'AC.

[taladris]

Tu fais allusion à :
http://forums.futura-sciences.com/sh...d.php?t=181729
Je croyais avoir démontré (avec une précision de homotopie) que l'axiome du choix n'était pas nécessaire justement .

Ah oui