equirépartition

invite298f4897 · 15/02/2006, 20h57

bonjour a tous,

pouvez vous m'indiquer comment démontrer l'equirepartition d'une suite dans un ensemble ( je trouve cette notion un peu difficile) et je souhaiterais savoir si il existe un rapport entre l'équirépartition et la densité dans un ensemble?

merci pour vos réponses.

invitedf667161 · 15/02/2006, 23h08

Salut

Il faudrait que tu donnes une définition de l'équirepartition, je ne suis pas sur que tout le monde sache ce que c'est (enfin pas moi !)

inviteca3a9be7 · 15/02/2006, 23h09

Salut,

Equirépartition :
http://www.bibmath.net/dico/index.ph...uireparti.html

C'est plus fort que la densité.

Exemple (idiot mais simple) de suite dense mais pas équirépartie : on classe les rationnels de 0..1 en une suite r(n).

u(10*n) = r(n)
u(10*n+r) = 0 pour 0 < r < 10

u(n) est dense mais pas équirépartie vu que ça s'entasse lourdement vers 0

invitedaff7191 · 30/03/2008, 18h28

ton exemple est faux

en effet Q est dense dans R donc l'ensemble des rationnels n'est pas dénombrable donc ta suite n'est pas définie....

cependant moi je n'ai pas d'exemple il serait intéressant de voir si une suite dense est forcément équirépartie .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite9c9b9968** · 30/03/2008, 18h37

Bonjour

Envoyé par nanissa

ton exemple est faux
en effet Q est dense dans R donc l'ensemble des rationnels n'est pas dénombrable donc ta suite n'est pas définie....

Quel rapport entre la densité et la dénombrabilité ?

La première notion est spécifique à la topologie, la seconde est ensembliste, or il se trouve que l'on peut exhiber une bijection entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (avec un dénombrement diagonal par exemple), donc $\text{[math]}$ est bien dénombrable..

invite57a1e779 · 30/03/2008, 18h38

Envoyé par nanissa

ton exemple est faux

en effet Q est dense dans R donc l'ensemble des rationnels n'est pas dénombrable donc ta suite n'est pas définie....

Pour la topologie de l'ordre, $\text{[math]}$ est effectivement dense dans $\text{[math]}$ , mais cela ne l'empêche nullement d'être dénombrable, ce qui permet d'ailleurs de montrer que $\text{[math]}$ est à base dénombrable...

**invite9c9b9968** · 30/03/2008, 18h40

Hello God's Breath

Envoyé par God's Breath

ce qui permet d'ailleurs de montrer que $\text{[math]}$ est à base dénombrable...

À axiome du choix près non ?

invitedaff7191 · 30/03/2008, 18h41

pour classer les éléments rationnels dans R il faudrait qu'ils soient dénombrables, non,

**Médiat** · 30/03/2008, 18h44

Envoyé par nanissa

pour classer les éléments rationnels dans R il faudrait qu'ils soient dénombrables, non,

Gwyddon et God's Breath te l'on déjà dit : Q est dénombrable.

**Médiat** · 30/03/2008, 18h48

Envoyé par Gwyddon

À axiome du choix près non ?

Une base d'ouverts du genre ]p ; q[ (avec p et q dans Q) n'a pas besoin de l'axiome du choix il me semble ...

invitedaff7191 · 30/03/2008, 18h49

bon admettons que Q soit dénombrable dans R

donc cela voudrait dire qu'il existe une suite finie xn telle que pour tout i xi<xi+1 et xi et xi+1 soient tous deux rationnels

or Q est dense dans R donc il existe dans l'intervalle xi,(xi+xi+1)/2 tel que u soit rationnel et x<u <= xi+xi+1/2

donc la suite n'est pas finie donc le "n-ième rationnel" n'a pas de sens

au passage ceci n'est qu'une discussion donc médiat abandonne ton ton menaçant stp merci

**Médiat** · 30/03/2008, 18h56

Envoyé par nanissa

bon admettons que Q soit dénombrable dans R

Que veut dire Q soit dénombrable dans R ?

Ooops, je n'avais pas tout lu, tu as raison : j'abandonne !

invitedaff7191 · 30/03/2008, 18h57

l'ensemble des éléments de Q dans R possède un cardinal fini

**Médiat** · 30/03/2008, 18h59

Envoyé par nanissa

l'ensemble des éléments de Q dans R possède un cardinal fini

Dommage que j'ai abandonné, j'aurais beaucoup de choses à t'apprendre !

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h02

alors explique ça tombe bien je suis en ads dessus et cet exemple était dans mon texte

je te retourne la question (peut-être que ma journée n'aura pas été vaine)

invite2c3ff3cc · 30/03/2008, 19h05

Envoyé par nanissa

l'ensemble des éléments de Q dans R possède un cardinal fini

Quelle est la signification de cette phrase nanissa ?

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h07

???? qu'on puisse définir dans un intervalle le n-ième rationnel

mais si vous avez une autre définition de la dénombrabilité de Q alors je suis preneuse

**invite1237a629** · 30/03/2008, 19h08

Plop,

Il y a une différence entre "ensemble dénombrable" et "cardinal infini"... (bon, mis à part que les deux mots sont différents !

)

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h10

d'accord alors je lance le débat

qu'est ce que concrètement le fait que Q soit dénombrable?

**invite9c9b9968** · 30/03/2008, 19h11

Envoyé par Médiat

Une base d'ouverts du genre ]p ; q[ (avec p et q dans Q) n'a pas besoin de l'axiome du choix il me semble ...

Ah zut je confondais "base dénombrable d'ouvert" et "base dénombrable" en tant qu'espace vectoriel

Du coup oui je suis d'accord avec toi, bien sûr

Envoyé par nanissa

???? qu'on puisse définir dans un intervalle le n-ième rationnel

Curieuse comme définition de "dénombrable"..

mais si vous avez une autre définition de la dénombrabilité de Q alors je suis preneuse

Simple : un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec l'ensemble $\text{[math]}$ des entiers naturels.

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h15

cela voudrait dire que dans [0;1] par exemple on peut définir une suite un telle que un= le n-ième rationnel??

**invite1237a629** · 30/03/2008, 19h21

Une histoire de partie entière, je crois que ça existe (j'suis pas très assidue au cours

)

Sinon, tu es sûre que c'est ainsi qu'on définit la dénombrabilité d'un ensemble ? Tu as ptet mal compris la notion de suite associée à la dénombrabilité d'un ensemble ?

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h22

surement mais cela ne répond pas à ma question

**invite9c9b9968** · 30/03/2008, 19h40

Envoyé par nanissa

surement mais cela ne répond pas à ma question

Cf mon post #20, où je te donne la signification de la dénombrabilité

invitedaff7191 · 30/03/2008, 19h41

cela voudrait donc dire que oui...
mais ça me laisse un peu perplexe

invite57a1e779 · 30/03/2008, 19h47

Envoyé par Gwyddon

Ah zut je confondais "base dénombrable d'ouvert" et "base dénombrable" en tant qu'espace vectoriel

Comme j'étais branché topologie, je n'ai pas imaginé le quiproquo :

Pour la topologie de l'ordre, $\text{[math]}$ est à base dénombrable d'ouverts.

En tant qu'espace vectoriel sur $\text{[math]}$ , sous axiome du choix bien évidemment, la dimension de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ par simple dénombrement.

invite57a1e779 · 30/03/2008, 19h57

Envoyé par nanissa

cela voudrait dire que dans [0;1] par exemple on peut définir une suite un telle que un= le n-ième rationnel??

Je définis une suite par $\text{[math]}$ et, pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ désigne la partie entière de $\text{[math]}$ .

Alors l'application $\text{[math]}$ est une bijection de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

invitedaff7191 · 30/03/2008, 20h03

oula la ce n'est plus de mon ressort mais cette suite est-elle dense?

invite57a1e779 · 30/03/2008, 20h14

Envoyé par nanissa

oula la ce n'est plus de mon ressort mais cette suite est-elle dense?

Du fait que l'image de cette suite est $\text{[math]}$ , elle est dense dans $\text{[math]}$ pour la topologie usuelle.

invitedaff7191 · 30/03/2008, 20h25

donc si Q est dénombrable cela voudrait dire que l'ensemble des rationnels dans [0;1] est dénombrable?

equirépartition

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