[exos olympiades]

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai trois problèmes d'olympiades (que je fait pour m'entraîner) où je bloque, les voici :

1)Pour combien de naturels non nuls n la somme 1+2+3+...+n est-elle le carré d'un entier inférieur à 100? J'ai posé (n étant un entier naturel, et k un entier inférieur à 100) :





Le terme sous la racine doit être un carré pair, par exemple x (je pose 2n²+2n=x), donc :



Et donc 2x+1 doit être également un carré, mais impair (à cause du -1). Mais maintenant comment déterminer tous les nombres x carré pair, pour lequels 2x+1 est un carré impair (x=4 est évident, mais il y en a surement d'autre)?

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2)Dans un polyèdre convexe, chaque sommet est entouré d'une face pentagonale et de deux faces hexagonales. Il y a 12 faces pentagonales. Quel est le nombre de faces hexagonales?

Je n'ai aucune idée comment aborder ce problème, je serais heureux si quelqu'un pourrait m'expliquer comment raisoner face à de tel problèmes.

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3)Dans un cercle donné, combien est-il possible d'inscrire de polygones réguliers étoilés à 21 sommets, non isométriques deux à deux?

J'ai chercher la définition de tous ces mots, mais même en ayant bien compris le problème je ne vois pas du tout comment commencer.

Merci pour votre aide.
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[matthias]

Le terme sous la racine doit être un carré pair, par exemple x (je pose 2n²+2n=x)

Ce n'est pas nécessairement une bonne idée d'introduire des racines carrées. Et il est préférable de garder la forme factorisée n(n+1) et de remarquer que n et n+1 sont premiers entre eux. Tu peux ensuite te demander ce qui se passe si k est multiple de p avec p premier.

Sinon il faudrait commencer par trouver une valeur max pour n à partir de la valeur max de k (100).

[invited927d23c]

Merci pour cette indication matthias. J'ai réfléchi dans cette direction, j'ai bien avancé mais j'arrive pas de terminer entièrement. Alors on a (avec n,k et h des entiers naturels) :







Comme n et (n+1) sont premier entre eux on a 3 possibilitées :

et
et
et
et
et
et

Le premier donne une impossibilité, et le dernier donne n=1 (qui marche). Pour les 4 autres j'ai isolé h, et puis j'ai essayer pour les 1er nombres premiers, jusqu'à ce que p*h>100. Et donc j'ai trouvé encore n=8, n=49. Et je suppose les avoir tous trouvé. Mais y avait-il moyen d'aller plus vite?

[matthias]

Ton h n'est pas forcément premier donc tu peux avoir plus de cas. Ce qu'il est important de voir c'est que si p premier divise k alors p² divise n ou p² divise n+1. Tu en déduis au final que tu as deux cas:
n carré d'un nombre impair et (n+1)/2 carré parfait
n+1 carré d'un nombre impair et n/2 carré parfait
Comme tu as très peu de carrés de nombre impairs qui peuvent convenir (si tu as d'abord cherché une valeur max pour n), tu peux finir en testant à la main.
C'est une solution parmi d'autres, mais c'est assez rapide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited927d23c]

J'ai eu du mal mais je suis finalement parvenu à comprendre comment tu réussisais à réduire le tous à 2 cas, merci. Il est vrai que c'est assez rapide à résoudre quand on connaît le truc, mais au début je me disais que c'était impossible.
Sinon tu pourrais stp m'expliquer dans les grands traits 1-2 autres résolutions possibles?

Merci d'avance pour toute indication pour les 2 autres exercices.

[matthias]

Sinon tu pourrais stp m'expliquer dans les grands traits 1-2 autres résolutions possibles?

J'ai un peu la flemme de chercher d'autres solutions, mais dans les trucs pas trop subtils, on pourrait remarquer des choses de ce genre:
n²+n-2k²=0
Pour que l'équation en n admette une solution entière on voit que le discriminant, 1+8k², doit être le carré d'un nombre impair.

Pour le problème numéro 2, si tu as n sommets, tu peux compter le nombres de faces pentagonale et hexagonales. Pour chaque sommet tu as 1 face pentagonale, 2 faces hexagonales ce qui donne n faces pentagonales, 2n faces hexagonales, à ceci près que tu as compté les faces plusieurs fois. La question est combien de fois as-tu compté chaque face en faisant ce calcul ?

Pour la 3, la construction se fait en joignant le sommet n au sommet n+k (k fixé). Tu as plusieurs questions a te poser. Le point de départ a-t'il une importance ? Pour quelles valeurs de k le polygone va-t'il passer par les 21 points avant de boucler ? Ensuite certaines de ces valeurs vont donner des polygones isométriques comme 2 et 19, donc il ne faut pas toutes les compter.

[invite986312212]

pour le polyèdre, je partirais de la formule d'Euler: S-A+F=2, où S est le nombre de sommets, A le nombre d'arêtes et F le nombre de faces, qui vaut F=12+n où n est le nombre de faces hexagonales que tu cherches. Ensuite, tu dois trouver des relations entre ces nombres. Par exemple, une arête joint 2 sommets et d'un sommet partent 3 arêtes (puisqu'il y a 3 faces qui touchent chaque sommet). Ainsi, tu as 2A=3S. A poursuivre.

note: c'est comme ça qu'on attaque la question des cinq solides "platoniciens".

[matthias]

pour le polyèdre, je partirais de la formule d'Euler

Je ne crois pas que ce soit utile.

Au fait ce polyèdre s'appelle un icosaèdre tronqué, plus communément appelé ballon de football

[invited927d23c]

Merci pour ces réponses. Pour la 1 c'est pas grave, car la méthode que tu as donné matthias est vraiment très rapide.
Sinon pour la 2 c'est à peu près la réfléxion que j'ai faite, est c'est la où je bloque, car je n'arrive pas de modéliser le problème. Je me doutais que c'était dans le genre d'un ballon de football (si on connaît bien la géométrie du ballon de football on pouvait facilement répondre à la question ). Je vais chercher des formules comme celle que propose ambrosio.
Pour la trois je vais chercher avec ce tu dit, je crois que je commence à voir comment on peut faire. Merci

[matthias]

Sinon pour la 2 c'est à peu près la réfléxion que j'ai faite, est c'est la où je bloque, car je n'arrive pas de modéliser le problème.

Il n'y a quasiment rien à faire pour la 2. Si tu as n sommets, que tu comptes 1 pentagone par sommet tu obtiens n pentagones. Mais chaque pentagone ayant 5 sommets, chaque pentagone a été compté 5 fois par cette méthode. Tu fais la même chose pour les hexagones et c'est fini.

[invited927d23c]

Voila j'ai un peu réfléchi sur le 3. Je suis arriver au conclusion suivante :

- Le point de départ n'a aucune importance vu que les polygones étoilés ne doivent PAS être isométrique deux à deux.
- k est supérieur ou égal à 2 sinon le polygone n'est pas étoilé.
- Si on place un point sur le maximum du cercle et qu'on trace la verticale passant par ce point, c'est un axe de symétrie, donc il suffit de considérer k entre 2 et 9 inclus. Car si k=10, c'est équivalent à k=9 à cause de la symétrie,...
- k=3 ou k=7 est impossible, 3 et 7 divise 21 (on ne passe pas par tous les points).

Alors il reste 2,4,5,6,8,9 comme valeur possible pour k.

A chaque fois chez cherché, disons a, le plus petit multiple de k supérieur à 21 moins 21. Comme on fait k tours, Il faut que le PPCM de k et a soit k*a (pour que tous les points soit pris quand on boucle le polygone). Sa donne :

k=2 a=22-21=1 ok
k=4 a=24-21=3 ok car PPCM est 12=4*3
k=5 a=25-21=4 ok car PPCM est 20=5*4
k=6 a=24-21=3 PPCM est 6 ça marche pas
k=8 a=24-21=3 ok car PPCM est 24=8*3
k=9 a=27-21=6 PPCM est 18 ça marche pas

Il reste 4 valeur de k possible, mais la bonne réponse est 5 (j'ai la réponse, mais sans justification). Alors où est mon erreur? Merci d'avance.

[invited927d23c]

Merci pour le 2, c'est tellement facile maintenant que tu le dis matthias, . J'ai ici pas mal d'exos, et bizzarement il y en a quelque uns (ceux où je vient de vous demander de l'aide), surement pas plus dur que les autres, où j'ai beau chercher mais je ne trouve pas le truc.
Grâce à toi maintenant j'ai compris . Reste le 3 qui cause encore un peu problème à cause du mauvais résultat.

[matthias]

Car si k=10, c'est équivalent à k=9 à cause de la symétrie,...

Ce ne sont pas plutôt 10 et 11 qui seraient équivalents ?

Sinon tu remarqueras que les k qui fonctionnent sont ceux qui sont premiers avec 21. Ca devient évident quand on a étudié les groupes Z/nZ.

[invited927d23c]

Les points 10 et 11 sont équivalents, mais j'ai choisi n=1, donc 9+1 et 10+1 donne bien 10 et 11 comme tu dis. Mais je vois toujours pas pourquoi j'en ai que 4.
J'ai déjà étudiez les groupes (aussi les anneaux et corps) en Maths. Tu pourrais me dire ce que c'est que les groupes Z/nZ. Car je trouverais bien d'enfin avoir une application pratique des groupes (car jusqu'à maintenant je vois pas l'utilité, à part un tas de définitions).

[matthias]

Les points 10 et 11 sont équivalents, mais j'ai choisi n=1, donc 9+1 et 10+1 donne bien 10 et 11 comme tu dis. Mais je vois toujours pas pourquoi j'en ai que 4.

Que vient faire n là-dedans ? k c'est l'incrément, il est indépendant de ton point de départ. Est-ce que passer du sommet n au sommet n+9 est équivalent à passer du sommet n au sommet n+10 ?

J'ai déjà étudiez les groupes (aussi les anneaux et corps) en Maths. Tu pourrais me dire ce que c'est que les groupes Z/nZ. Car je trouverais bien d'enfin avoir une application pratique des groupes (car jusqu'à maintenant je vois pas l'utilité, à part un tas de définitions).

Même s'il est vrai qu'on utilise beaucoup les groupes implicitement dans d'autres structures plus complexes (anneaux, corps, espaces vectoriels, algèbres, etc), on a aussi des applications plus directes, notamment dans des problèmes de congruence (groupes Z/nZ donc), des problèmes liés à des permutations (Rubik's Cube dans les exemples ludiques) ...

Si tu connais la notion de groupe quotient, on peut voir Z/nZ comme le quotient du groupe (Z;+) par la relation binaire de congruence modulo n. C'est à dire que si a et b sont congrus modulo n, on considère qu'ils représentent le même élément dans Z/nZ.
Plus simplement, c'est un groupe à n éléments (0, 1, 2 .... n-1) qui est "déduit" de Z en remplaçant un entier par le reste de sa division euclidienne par n.
Par exemple Z/2Z = {0;1} et l'addition donne:
0+0=0 (somme de 2 nombres pairs est paire)
1+0=0+1=1 (somme d'un pair et d'un impair est impaire)
1+1=0 (somme de 2 impairs est paire)
En fait on a même une structure d'anneau, et une structure de corps si n est un nombre premier. Ce sont donc des structures très utilisées en arithmétique, notamment en cryptographie.

Bon, c'était vraiment une explication avec les mains (voire les pieds), mais tu trouveras surement ton bonheur avec une petite recherche (Google mots clés :congruence, groupe et sans doute dans la bibliothèque de mathématiques du forum).

[invited927d23c]

Excuse moi, j'avais mal tracer ma figure (9 points d'un côté et 11 de l'autre) et donc j'avais mal compté (j'aurais du faire par la logique). Tu as raison c'est 10 et 11, et donc il y a k=10 qui est rajouté et donc on en a 5, et ça colle .

Merci pour ton explications, en fait c'est un concept plus général de ce que j'ai déjà vu. On avait déjà vu les classes d'équivalence pour une relation binaire R. Par exemple pour 'a' un entier naturel, si R est le reste de la division de a par n, il y a n classes d'équivalence, noté N/R (quotient de N par R). Je vais essayer de comprendre en quoi les groupes quotient permettent de résoudre ce type d'exercice (avec une recherche de google).

[matthias]

Merci pour ton explications, en fait c'est un concept plus général de ce que j'ai déjà vu. On avait déjà vu les classes d'équivalence pour une relation binaire R. Par exemple pour 'a' un entier naturel, si R est le reste de la division de a par n, il y a n classes d'équivalence, noté N/R (quotient de N par R).

Oui cela vient de là. Mes excuses pour mes explications (que je viens de relire et qui sont vraiment en dessous de tout). Mais tu as mis le doigt sur le point important. Tes classes d'équivalence forment un ensemble sur lequel tu peux justement définir des lois d'addition et de multiplication "déduites naturellement" de celles sur Z. Il faut juste vérifier que cet ensemble muni des ces lois a bien une structure d'anneau. C'est un bon exercice. Une fois que tu as fait ceci, tu peux faire une recherche plus fructeuse sur les groupes monogènes et les groupes cycliques.

[invited927d23c]

Je ne trouvais pas tes explications si mauvaises que ça, j'avais compris ce qui est l'important.

Je viens de prendre l'ensemble des classes d'équivalences pour la division par 21, donc il y a 21 restes possible, donc 21 éléments.
De démontrez que + et x sont des lois de compositions internes n'a pas été trop dur.
L'addition est commutative, associative, possède un élément neutre et tous élément possède un symétrique. Donc (E,+) est un groupe abélien.
La multiplication est associative, commutative, possède un élément neutre, et est distributive sur +.

Donc je suis arrivé à la conclusion que (E,+,x) est un anneau commutatif unitaire. Je n'ai pas réussi de démontrer que (E*,x) est un groupe, à cause de l'élément symétrique, donc je suppose que (E,+,x) n'est pas un corps.

Je vais une fois voir ce que c'est que les groupes monogènes et les groupes cycliques.

[matthias]

Je n'ai pas réussi de démontrer que (E*,x) est un groupe, à cause de l'élément symétrique, donc je suppose que (E,+,x) n'est pas un corps.

Pour que (Z/nZ;+;x) soit un corps, il faut et il suffit que n soit premier. De manière générale l'ensemble des éléments inversibles sont ceux qui sont premiers avec n.

[invited927d23c]

De manière générale l'ensemble des éléments inversibles sont ceux qui sont premiers avec n.

C'est la réfléxion que je m'étais faite. Et comme j'ai étudiez un cas spécifique, le cas où n=21, 21 n'étant pas premier (E,+,x) n'est pas un corps.
Merci, je comprend de mieux en mieux .