Point fixe et algèbre

[invite070b30b2]

Bonjour,
Je cherche si il y a un équivalent des théorèmes de point fixe pour des algèbres. De façon général, un théorème de point fixe est un résultat qui permet d'affirmer qu'une fonction f admet sous certaines conditions un point fixe. Evidemment, par fonction, on admet aussi des applications, ou des fonction multivaluées. Ma question est : existe-t-il une théorie mathématique qui traite la question pour une action d'algèbre. Par exemple si A est une algèbre qui agit sur un espace vectoriel X. Comment puis-je résoudre a(x)=x, où a est un élément de A, x un élément de X ? Comment puis-je savoir quand cela est possible ? Quel domaine traite de cette question ?

Merci
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[Seirios]

Bonjour,

La question est plutôt vague, je suis pas sûr que tu puisses avoir une réponse exhaustive. Rien que pour les groupes, tu peux regarder du côté de la propriété (FA) (action sur un arbre simplicial), la propriété (FH) (action sur un espace de Hilbert) ou encore la propriété (T). Il y a déjà beaucoup à dire.

[invite070b30b2]

Merci Seirios pour cette première réponse. Alors justement je resserre la question : je m'intéresse plus spécifiquement aux C*-algèbres non abéliennes.

[invite33c0645d]

Je conseil un petit livre auquel je n'ai plus accès, mais que j'ai assez régulièrement emprunté, à la bibliothèque universitaire de Orsay la référence est : 515.73 SMA fix. Mais je n'arrive malheureusement plus du tout à me souvenir des références (auteur et titre).

Dans le domaine affine, il me semble que le théorème du point fixe de Markov Kakutani donne une bonne première approche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite070b30b2]

oups, je ne pense pas que les théorèmes de point fixe soient une bonne approche. Ce que je demande me semble plutôt lié aux représentations d'algèbre, mais je n'en suis pas sûr. Ce dont je suis sûr, c'est que certains connaissent la réponse sur ce forum ! Merci quand même