Espaces topologiques -élémentaire-

[invite3270eac4]

Salut,svp je coince sur une partie d'un problème :

la définition:Soit E un ensemble non vide,on appelle topologie sur E toute partie S de P(E) vérifiant les axiomes suivants:
1-∅∈S et E∈S
2-Si (Oi) est une famille d'éléments de S alors ⊔Oi∈S
3-quelque soient O₁ ET O₂ de S on a O₁∩O₂∊S

Voilà on me demande :
-Monter que si (Oi)i∈I est une famille finie d'ouverts de E alors ∩Oi est une topologie sur E.
1-Soit E=(a,b,c,d,e)
Soit S₁=(∅,E,(a),(c,d),(a,c,d),(b,c ,d,e)) Montrer que S₁ est une topologie sur E.
Soit S₂=(∅,E,(a),(c,d),(a,c,d),(b,c ,d)).Justifiez que S₂ n'est pas une topologie sur E.
-----

[gg0]

Bonjour.

Pour ton exercice 1, il te suffit de vérifier les trois axiomes. C'est ton exercice, c'est à toi de le faire ..
Pour le "Monter que si (Oi)i∈I est ...", il y a sans doute une erreur de rédaction. Sans compter que sans une topologie préalable, la notion d'ouvert n'a pas de sens.

Cordialement.

[invite3270eac4]

Oui,je l'ai trouvé comme ça au problème.
Pour la question 1 ,on peut la faire par absurde?
On suppose par absurde que ∩Oi∉S donc il existe O1 et O2 au moins tel que O1∩O2∉S ce qui contredit la troisième propriété .

[gg0]

Si l'énoncé est vraiment : "Montrer que si (Oi)i∈I est une famille finie d'ouverts de E alors ∩Oi est une topologie sur E.", il n'y a rien à faire, puisqu'on ne sait pas qui est E, ce que veut dire ici "ouvert", ni ce que veut dire ∩Oi.

Mais je soupçonne plutôt une question qui suit des explications ou d'autres questions, et un gros défaut de notation sur ∩Oi.

Je n'ai pas non plus compris comment tu peux prouver par l'absurde que c'est une topologie. D'autant que ta supposition " ∩Oi∉S " n'a rien à voir avec l'énoncé que tu as écrit : Il n'y a pas de S, et on ne sait toujours pas de quoi il s'agit (à priori de l'intersection de tous les Oi, mais la suite le contredit).

Si tu peux mettre ton énoncé en pièces jointes, une fois qu'il aura été validé, on pourra regarder de plus près.

Cordialement.

NB : L'énoncé ne serait-il pas : "Monter que si (O_i)_i∈I est une famille finie d'ouverts de E alors ∩_i∈IO_i est un ouvert de E" ? E étant un espace topologique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3270eac4]

Vous avez raison,je vais essayer de scanner l'énoncé,j'ai mal écrit les notations.
Oui la question est celle que vous venez d'écrire:"Monter que si (Oi)i∈I est une famille finie d'ouverts de E alors ∩i∈IOi est un ouvert de E"

[gg0]

Ok.

Dans ce cas, une preuve par récurrence sur la taille de I est facile.
Sinon, ton idée de preuve par contraposition (plutôt que par l'absurde, ici) n'est pas mauvaise, à priori, mais il te faut justifier que si l'intersection d'une famille finie d'ensembles est vide, il y a au moins 2 ensembles dont l'intersection est vide. Ce qui n'est pas évident. C'est d'ailleurs faux pour une famille infinie, par exemple pour la famille (I_n)_n où .

Cordialement.