Salut,
Quelles sont les principaux résultats sur la structure des magmas ?
magma : ensemble ayant une loi de composition interne.
Merci.
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Salut,
Quelles sont les principaux résultats sur la structure des magmas ?
magma : ensemble ayant une loi de composition interne.
Merci.
Bonjour,
Un magma est juste une théorie où le langage est constitué d'une opération et sans aucun axiome, donc difficile de trouver des théorèmes intéressants ...
Avez-vous quelque chose en tête ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir,
Je pensais au magma types Bourbaki.
Oui, en fait les magmas (fini) ne sont pas autres choses que des sous magmas des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini.
Y-a-t-il des résultats dans ce sens ?
Oui, en fait les magmas (fini) ne seraient pas autres choses que des sous magmas des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini.
J'ai oublié d'utiliser le conditionnel (sous réserve de le prouver)
Rien à voir à priori avec les matrices... ne serrait ce que parce que la loi n'est à priori ni commutative, ni associative
J'ai oublié de préciser que je ne fais référence qu'aux magmas associatifs.
Bonjour,
Donc vous ne parlez pas de magmas mais de demi-groupe, par exemple : http://www.mi.fu-berlin.de/math/grou...-chapter01.pdf
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Oui, c'est bien cela.
Il me semble que pour affirmer que les demi-groupes (finis) ne sont pas autres choses que des sous demi-groupe des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini, il suffit pour cela de prendre n=taille du demi-groupe considérer.
N'est-ce pas ?
Bonjour,
Je ne suis pas sûr que ce soit aussi simple : http://www.m-hikari.com/ija/ija-2013...JA1-4-2013.pdf
La première phrase est :The representation of semigroups by matrices is a central problem in the theory of semigroups.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir,
Mais pourtant si l'on considère le semi-groupe S= {g_1,...,g_n}
On prend le corps à 2 éléments et on considère un espace vect(e_1,..e_n) de dim n.
On représente g_i par M_i tel que si g_i*g_k=g_l alors M_i(e_k)=e_l.
Si g_i*g_k=g_l alors M_i*M_k=M_l.
Il suffit de montrer que la fonction x->g*x de S dans S caractérise g.
Non ?
Bonjour,
Pour tout k=1..n je peux choisir n'importe quelle vecteur u_k dans Vect(e_1,...,e_n) et lui associé de manière unique l'application linéaire f tel que f(e_k)=u_k.
On prend alors M la représentation matricielle de cette fonction dans la base (e_1,..,e_n).
Désolé, mais je ne vois pas comment cela peut marcher, car les caractéristiques du magma semblent ne pas intervenir dans le choix de u_k, donc de f ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai pas été peut-être assez explicite.
La question de départ comment être sur de l'existence de M_i tel que si g_i*g_k=g_l alors M_i(e_k)=e_l ?
On considère la fonction linéaire f tel que f(e_k)=e_l si g_i*g_k=g_l, on note M_i la représentation matricielle de f dans la base (e_1,...,e_n).
Il y a un cas ou cela ne marche pas si g_1*x=g_2*x pour tout x dans le semi-groupe et il existe x_0 tel que x_0*g_2<>x_0*g_1.
Mais je pense qu'un tel cas est impossible, non ?
Non en fait cela marche quand même on construit bien ainsi (modulo l'identification) un isomorphisme de semi-groupe. (me semble-t-il)
ta correspondance est bien définie mais elle n'est pas nécessairement injective. Ce n'est pas un isomorphisme en général.
L'ensemble des matrices nXn sur un corps fini a beaucoup plus que n éléments.
Prends ce semi-groupe a 2 éléments, que j'appelle 1 et 2, avec la loi 1.1=1.2=2.1=2.2=1 Tu peux vérifier que la loi est associative.
Alors 1 et 2 sont associés à la même matrice :
1 1
0 0
Bonjour,
Je viens de comprendre : Soitun magma fini (
), je note
les éléments de
(quitte à passer par une bijection) et
l'opération de ce magma.
Soitl'espace vectoriel de dimenion
sur
, et soit
une base de
![]()
Aon fait correspondre
l'application linéaire définie par
.
Et effectivement, siest associative, cela marche (sauf si plusieurs éléments ont les mêmes produits à droite, car dans ce cas l'application qui à
fait correspondre
, n'est pas injective).
Est-ce bien cela ?
Dernière modification par Médiat ; 03/10/2014 à 10h25.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ah, on s'est juste ma compris l'isomorphisme est entre S={g_i|i=1..n} et M={M_i|i=1..n} sous-magma de M_n(K).
Ton semi-groupe aprés identification est réduit à un élément.
g et h s'identifie si pour tout élément du semi-groupe g*x=h*x
Bonjour,Bonjour,
Je viens de comprendre : Soitun magma fini (
), je note
les éléments de
(quitte à passer par une bijection) et
l'opération de ce magma.
Soitl'espace vectoriel de dimenion
sur
, et soit
une base de
![]()
Aon fait correspondre
l'application linéaire définie par
.
Et effectivement, siest associative, cela marche (sauf si plusieurs éléments ont les mêmes produits à droite, car dans ce cas l'application qui à
fait correspondre
, n'est pas injective).
Est-ce bien cela ?
Exactement. Et dans ce cas on fait une identification.
Je pense que le plus dur c'est de déterminer la dim minimale qui permet de construire un tel isomorphisme.
Cela aurait été bien d'avoir toutes les informations dès le premier post !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse