Structures des magmas

[invite0a547b27]

Salut,

Quelles sont les principaux résultats sur la structure des magmas ?

magma : ensemble ayant une loi de composition interne.

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Un magma est juste une théorie où le langage est constitué d'une opération et sans aucun axiome, donc difficile de trouver des théorèmes intéressants ...

Avez-vous quelque chose en tête ?

[invite0a547b27]

Bonjour,

Un magma est juste une théorie où le langage est constitué d'une opération et sans aucun axiome, donc difficile de trouver des théorèmes intéressants ...

Avez-vous quelque chose en tête ?

Bonsoir,

Je pensais au magma types Bourbaki.
Oui, en fait les magmas (fini) ne sont pas autres choses que des sous magmas des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini.
Y-a-t-il des résultats dans ce sens ?

[invite0a547b27]

Oui, en fait les magmas (fini) ne seraient pas autres choses que des sous magmas des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini.

J'ai oublié d'utiliser le conditionnel (sous réserve de le prouver)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Rien à voir à priori avec les matrices... ne serrait ce que parce que la loi n'est à priori ni commutative, ni associative

[invite0a547b27]

J'ai oublié de préciser que je ne fais référence qu'aux magmas associatifs.

[Médiat]

Bonjour,

Donc vous ne parlez pas de magmas mais de demi-groupe, par exemple : http://www.mi.fu-berlin.de/math/grou...-chapter01.pdf

[invite0a547b27]

Bonjour,

Oui, c'est bien cela.

Il me semble que pour affirmer que les demi-groupes (finis) ne sont pas autres choses que des sous demi-groupe des Mn(K) les matrices carrés de dimension n*n et avec K un corps fini, il suffit pour cela de prendre n=taille du demi-groupe considérer.
N'est-ce pas ?

[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr que ce soit aussi simple : http://www.m-hikari.com/ija/ija-2013...JA1-4-2013.pdf
La première phrase est :

The representation of semigroups by matrices is a central problem in the theory of semigroups.

[invite0a547b27]

Bonsoir,

Mais pourtant si l'on considère le semi-groupe S= {g_1,...,g_n}
On prend le corps à 2 éléments et on considère un espace vect(e_1,..e_n) de dim n.
On représente g_i par M_i tel que si g_i*g_k=g_l alors M_i(e_k)=e_l.
Si g_i*g_k=g_l alors M_i*M_k=M_l.
Il suffit de montrer que la fonction x->g*x de S dans S caractérise g.

Non ?

[invite0a547b27]

...Il suffit de montrer que la fonction x->g*x de S dans S caractérise g...

Ou au pire d'identifier ces éléments à la même représentation fonctionnelle et cela restera compatible avec cette loi.

[Médiat]

Bonjour,

On représente g_i par M_i tel que si g_i*g_k=g_l alors M_i(e_k)=e_l.

Comment garantissez-vous qu'un tel M_i existe toujours ?

[invite0a547b27]

Bonjour,
Comment garantissez-vous qu'un tel M_i existe toujours ?

Bonjour,
Pour tout k=1..n je peux choisir n'importe quelle vecteur u_k dans Vect(e_1,...,e_n) et lui associé de manière unique l'application linéaire f tel que f(e_k)=u_k.
On prend alors M la représentation matricielle de cette fonction dans la base (e_1,..,e_n).

[Médiat]

Désolé, mais je ne vois pas comment cela peut marcher, car les caractéristiques du magma semblent ne pas intervenir dans le choix de u_k, donc de f ...

[invite0a547b27]

Je n'ai pas été peut-être assez explicite.
La question de départ comment être sur de l'existence de M_i tel que si g_i*g_k=g_l alors M_i(e_k)=e_l ?
On considère la fonction linéaire f tel que f(e_k)=e_l si g_i*g_k=g_l, on note M_i la représentation matricielle de f dans la base (e_1,...,e_n).

[invite0a547b27]

Ou au pire d'identifier ces éléments à la même représentation fonctionnelle et cela restera compatible avec cette loi.

Il y a un cas ou cela ne marche pas si g_1*x=g_2*x pour tout x dans le semi-groupe et il existe x_0 tel que x_0*g_2<>x_0*g_1.
Mais je pense qu'un tel cas est impossible, non ?

[invite0a547b27]

Il y a un cas ou cela ne marche pas si g_1*x=g_2*x pour tout x dans le semi-groupe et il existe x_0 tel que x_0*g_2<>x_0*g_1.
Mais je pense qu'un tel cas est impossible, non ?

Non en fait cela marche quand même on construit bien ainsi (modulo l'identification) un isomorphisme de semi-groupe. (me semble-t-il)

[invite9dc7b526]

ta correspondance est bien définie mais elle n'est pas nécessairement injective. Ce n'est pas un isomorphisme en général.

[invite0a547b27]

ta correspondance est bien définie mais elle n'est pas nécessairement injective. Ce n'est pas un isomorphisme en général.

Pourquoi ?
J'ai bien dis modulo l'identification.

[invite9dc7b526]

L'ensemble des matrices nXn sur un corps fini a beaucoup plus que n éléments.

Prends ce semi-groupe a 2 éléments, que j'appelle 1 et 2, avec la loi 1.1=1.2=2.1=2.2=1 Tu peux vérifier que la loi est associative.

Alors 1 et 2 sont associés à la même matrice :

1 1
0 0

[Médiat]

Bonjour,

Je viens de comprendre : Soit un magma fini (), je note les éléments de (quitte à passer par une bijection) et l'opération de ce magma.
Soit l'espace vectoriel de dimenion sur , et soit une base de

A on fait correspondre l'application linéaire définie par .

Et effectivement, si est associative, cela marche (sauf si plusieurs éléments ont les mêmes produits à droite, car dans ce cas l'application qui à fait correspondre , n'est pas injective).

Est-ce bien cela ?

[invite0a547b27]

L'ensemble des matrices nXn sur un corps fini a beaucoup plus que n éléments.

Prends ce semi-groupe a 2 éléments, que j'appelle 1 et 2, avec la loi 1.1=1.2=2.1=2.2=1 Tu peux vérifier que la loi est associative.

Alors 1 et 2 sont associés à la même matrice :

1 1
0 0

Ah, on s'est juste ma compris l'isomorphisme est entre S={g_i|i=1..n} et M={M_i|i=1..n} sous-magma de M_n(K).
Ton semi-groupe aprés identification est réduit à un élément.
g et h s'identifie si pour tout élément du semi-groupe g*x=h*x

[Médiat]

g et h s'identifie si pour tout élément du semi-groupe g*x=h*x

Pourquoi ?
Là vous êtes en train d'ajouter un axiome à votre magma !

[invite0a547b27]

Bonjour,

Je viens de comprendre : Soit un magma fini (), je note les éléments de (quitte à passer par une bijection) et l'opération de ce magma.
Soit l'espace vectoriel de dimenion sur , et soit une base de

A on fait correspondre l'application linéaire définie par .

Et effectivement, si est associative, cela marche (sauf si plusieurs éléments ont les mêmes produits à droite, car dans ce cas l'application qui à fait correspondre , n'est pas injective).

Est-ce bien cela ?

Bonjour,
Exactement. Et dans ce cas on fait une identification.
Je pense que le plus dur c'est de déterminer la dim minimale qui permet de construire un tel isomorphisme.

[invite0a547b27]

Pourquoi ?
Là vous êtes en train d'ajouter un axiome à votre magma !

Pour conserver l'injectivité, sans grosse perte d'info. (sur la structure)

[Médiat]

Cela aurait été bien d'avoir toutes les informations dès le premier post !

[invite0a547b27]

Cela aurait été bien d'avoir toutes les informations dès le premier post !

S'il y a un résultat que j'avais en tête en ouvrant ce post ce n'est pas celui-là mais :
le fait que tout semi-groupe est assimilable à un graphe transitif dont les sommets sont des groupes.

[invite0a547b27]

... tout semi-groupe (fini) est assimilable à un graphe transitif dont les sommets sont des groupes.

Ce résultat serait-il connu ?