Sup d'une suite de fonction

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Je souhaiterais avoir une définition du sup d'une suite de fonction.

Imaginons fn de la forme suivante :

f0(x)=0.5
f1(x)=x^2
f2(x)=x;

et pour le reste fn=0

Sup_n(fn) serait la fonction suivante ?

Sup(fn) :
x -> x^2 sur [-oo,-1/sqrt(2)]
x->0.5 sur [-1/sqrt(2);+1/sqrt(2)]
x->x sur [+1/sqrt(2);1]
x->x^2 sur [1/sqrt(2);+oo]

En gros pour une suite de fonction le sup c'est "on regarde à chaque valeur de x la valeur des fonctions et on prend la plus grande" ?
Enfin c'est plutôt on prend le plus petit des majorants de l'ensemble {fn(x)}, mais en l’occurrence je ne vois pas comment il pourrait se distinguer du max.

Finalement, faire le sup sur une suite de fonction c'est faire le sup sur les fonctions qui la composent en chaque x ?

En fait y aurait il une définition générale des sup d'ensembles ? Car j'ai l'impression que pour les suites de fonction c'est un cas particulier (car en soit dire je prend le sup entre f et g n'a pas trop de sens vu qu'on ne s'attache pas aux valeurs f(x), g(x), c'est quoi le plus grand entre x et x^2... ? Il faudrait une norme pour en décider ??).

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Déjà, définissons le sup d'une suite de deux fonctions . C'est bien évidemment une fonction :

Si tu connais la notion de borne supérieure d'une suite de nombres, tu peux définir facilement le sup d'une suite de fonctions.

La clef de tout ça est la définition de l'ordre entre fonctions (numériques, définies sur un ensemble de réels A):


Dernière remarque : Ton exemple est bien trop simple, puisqu'il n'y a que 4 fonctions en cause. Examine par exemple, sur [-1,1], avec .

Cordialement.