Theo.Conv.Dominée

[invite47c02d3b]

Combien vaut



Merci d'avance
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[invite37083ed2]

Je dirais que tend vers 0 en tout x entre 0 et 1, et que c'est majoré à partir d'un certain rang par sin(1/x) qui est intégrable entre 0 et 1.

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Je dirais que tend vers 0 en tout x entre 0 et 1, et que c'est majoré à partir d'un certain rang par sin(1/x) qui est intégrable entre 0 et 1.

Pour x > 0, = 0, OK.
Mais il y a des difficultés en zéro. et il n'y pas tout à fait majoration par sin(1/x) à partir d'un certain rang pour des raisons de signe (plutôt |sin(1/x)|)
Peut être peut-on se débarrasser du problème en 0 grâce à https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3.A9ralisation

A+

[invitea07f6506]

Je vois mal comment utiliser le théorème de convergence dominée seul. J'ai bien une méthode pour montrer que la limite est 0, mais ça utilise un changement de variable (t = 1/(nx)), un découpage en intervalles de la forme [1/(n+1), 1/n), Riemann-Lebesgue sur chaque intervalle, et le théorème de convergence dominée pour recoller le tout. Il y a peut-etre plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37083ed2]

il n'y pas tout à fait majoration par sin(1/x) à partir d'un certain rang pour des raisons de signe

Ouais c'est clair, j'aurais dû prendre -1 et 1 pour borner sans m'ennuyer.

Mais il y a des difficultés en zéro

Elle n'est pas définie en 0, on intègre sur ]0,1], non ?

[invite47c02d3b]

Merci pour toutes les réponses. Je pense que Garf touche le fil de la démonstration. En fait, on peut écrire



Rappelons le lemme de Riemann-Lebesgue qui stipule que si F est une fonction intégrable sur alors
( se rappeler les coefficients de Fourier!!)
Remarquons bien que la fonction est bien intégrable sur
et par suite le résultat est acquis

[invite37083ed2]

En quoi ça ne marche pas de prendre les de valeur absolue majorée à partir d'un certain rang par 1, et d'appliquer le théorème de convergence dominée ?

[invite47c02d3b]

ça ne marche pas car on ne peut pas trouver de majoration. En fait, la quantité n'est pas majorée par une constante indépendante de

Nous avons

[invite37083ed2]

Ah ouais en effet ça ne marche que sur [a,1[ a>0. C'est super sympa comme truc ^^.

[invite37083ed2]

Mais du coup on ne peut pas compléter le raisonnement en prenant et disant que pour tout t>0 g(t)=0 donc ?

[invite268bab33]

Combien vaut



Merci d'avance

Voici une preuve qui utilise la convergence dominée. D'abord une intégration par parties fournit :

en considérant que .

Posons et .
Alors la suite converge ponctuellement vers la fonction nulle.

D'autre part on a la majoration qui résulte des inégalités , et

Les sont donc dominées par , qui est intégrable sur (où ).

On en déduit (th. de convergence dominée) que , et donc .
(J'ai bon ?)

[invite5805c432]

ta démo est un peu tordue, je pense que tu peux simplifier.

s'il fait le changement de variable u=1/x, il retrouve
une personne à signalé un peu au dessus que ca ressemble drôlement à riemman lebesgue, en étant la partie imaginaire de


et la démonstration de riemman lebesgue passe par ce que tu as fais. On commence par une IPP

j'ecris avec abus, il doit verifier que l'ipp passe à l'infini sur R, donc que f' est intégrable en l'infini. ce qui me semble ok.

le module du premier terme est genre <f(1)/n, donc converge vers 0
le module du second terme est < et converge vers 0.

j'ai pas l'impression que j'ai utilisé la convergence dominée. Juste des majoration.

[invite268bab33]

ta démo est un peu tordue, je pense que tu peux simplifier.

s'il fait le changement de variable u=1/x, il retrouve
[…]

Attention, avec le changement de variable on obtient ; il faut donc en principe s'occuper séparément de l'intégrale entre 0 et 1/n (ce qui n'est pas un gros problème…).

En fait, si j'ai proposé la preuve ci-dessus, c'était juste pour me conformer à l'indication du titre (convergence dominée), et sans utiliser d'autre résultat « consistant », comme le lemme de Riemann-Lebesgue, dont la preuve générale (dans L¹) n'est pas complètement triviale ; même si, pour le cas qui nous occupe, elle se ramène à une intégration par parties & des majorations.
Le bon côté des choses, c'est qu'un problème peut avoir plusieurs solutions.

[invitea07f6506]

J'ajouterai une petite remarque. Avoir des bornes sur le sinus, ou savoir que sin(1/x) oscille près de 0, ne suffit pas. Par exemple, si on change un peu l'intégrale, on obtient (en traitant la rigueur mathématique avec un peu moins de respect que d'ordinaire) :



où est la phase de . En particulier, cette intégrale est oscillante, et n'a pas de limite.

La façon dont je vois ça, est que est une répartition d'une masse unité, qui converge vers un Dirac en 0. Avec les oscillations de sin(1/x), cette masse va se répartir équitablement entre les oscillations positives et les oscillations négatives, ce qui, par compensation, tend à rendre l'intégrale nulle. Cependant, à n fixé, la plupart de la masse est toujours à peu près au meme ordre de grandeur, et va donc se placer dans une unique oscillation de sin(ln(x)). Dans ces conditions, impossible d'obtenir une convergence. Il faut bien utiliser la vitesse d'oscillation de sin(1/x) pour faire apparaitre ces compensations, ce qui est exactement le role du lemme de Riemann-Lebesgue.

[invite5805c432]

j'ai perdu la trace de son premier poste. mais au depart il cherchais la limite de ceci
et comme on lui a dit que la partie \int_1^inty converve vers zero par convergence dominé,
il est revenu à la charge, en reposant la question pour la partie \int_0^1 ...

effectivement, soit c'est un autre un problème soit il a fait un changement de variable bizarre avant de reposer sa question.