Suite et binômes de newton

[invite97a4e18d]

Bonsoir,
J'ai l'exercice ci-joint à faire. J'ai démontré les questions 1. a et 1.b mais je n'arrive pas malgré mes recherches à résoudre la question 2. Je ne trouve pas comment exprimer b(k) en fonction de b(n).
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié en détails, mais pourquoi pas une récurrence ? Comme , tu as ; ensuite, tu peux remplacer par l'expression qui t'est proprosée, et simplifier la somme en utilisant les deux premières questions.

[invite97a4e18d]

Bonjour,

Tout d'abord, merci de ta réponse ! Ceci-dit je ne vois pas comment tu trouves a(n+1) en fonction de b(n+1). Et pour remplacer ak, je dois exprimer ak en fonction de bk ? Si oui, je suis embêtée avec la somme et le binôme de newton...

[Seirios]

J'ai vérifié les calculs, et une récurrence fonctionne bien.

L'expression de en fonction de et des () vient simplement de la première relation qu j'ai citée, en remarquant que est le premier terme de la somme. Ensuite, en remplaçant les par leurs expressions en fonction des , tu dois trouver une double somme. Il te faudra ensuite trouver un moyen d'inverser les signes de sommation (en faisant bien attention, les indices ne sont pas indépendants !). Finalement, après une factorisation, tu pourras mettre en évidence la somme de la question 1.b) pour simplifier l'expression. Finalement, en mettant ta nouvelle expression sous un même signe de sommation, tu pourras conclure.

Si tu ne trouves pas, n'hésite pas à poster tes essais.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pourquoi une récurrence? L'écriture de la somme et l'inversion des deux sigma ne suffit-il pas?

[Seirios]

On utilise quand même l'hypothèse de récurrence pour écrire les en fonction des . Mais peut-être n'ai-je pas compris ta question ?

[Amanuensis]

Cela doit être moi qui ne comprends pas le terme "récurrence", que j'associe, sûrement par erreur, à "démonstration par récurrence".

Une fois la démonstration complètement écrite, je verrai si ma question faisait sens.

[invite97a4e18d]

Bonsoir à tous,

J'ai utilisé une récurrence forte et avec vos aide, j'ai enfin réussi à conclure. Je vous remercie beaucoup pour vos réponses, il me manquait juste 2-3 étapes pour comprendre, ce qui est fait maintenant.