Bonjour, j'ai besoin d'aide pour une question svp !
On appelle système orthogonal toute famille (Pn) de polynômes qui est orthogonale pour ( | ) et telle que pour tout n d°(Pn)=n.
Si (Pn) système orthogonal montrer que (Pk) est une base de Rn[X]
Montrer l'existence d'un système orthogonal!
pour la première j'ai dit famille échelonnée donc libre de dim n donc c'est bon mais par contre pour la deuxième question je ne voit pas du tout comment l'aborder ... Merci d'avance de votre aide
dans un espace vectoriel, muni d'un produit scalaire, quand tu as une base, tu peux fabriquer à la main, une base orthogonale.
par exemple, si tu as 2 vecteurs v1 et v2, qui forment une base du sous espace vectoriel engendré par v1 et v2
v1 , v2- (v1|v2) v2/||v2||^2, engendre le même sous espace vectoriel que v1 et v2, et sont orthogonaux.
donc (v1 , v2- (v1|v2) v2/||v2||^2) est une base du sous espace vectoriel engendré par v1 et v2.
Si tu définis la famille polynômes :
Pn= x^n+a1,n.x^(n-1)+...+an-1,n.x+an,n
Pn-1= x^n+a1,n-1.x^(n-1)+...+an-1,n-1.x+an,n-1
...
P1= x^n+a1,1.x^(n-1)+...+an-1,1.x+an,1
Chacun a n paramètres
Par récurrence, le premier polynome Pn est quelconque.
Le polynome Pn-1, pour être orthogonal (selon | , est dans Z/2/Z ?) nécessite de respecter :
Pn | pn-1 =0 , ce qui se traduit par un degré de liberté de moins pour Pn-1 dont seuls n-1 paramètres sont arbitraires.
et par récurrence, à chaque polynome ajouté à la base, tu perds un degré de liberté.
jusqu'à P1 qui est entièrement imposé par les autres.
d'accord donc quand on a ajouté n polynomes a la base, on a un systeme orthogonal et ca répond a la question !! merci beaucoup
J'ai lu trop vite !
Désolé !
Dernière modification par gg0 ; 03/11/2014 à 22h02.
tu es tout pardonné
en revanche, je ne comprend pas en quoi le post de untruc repond a ma question ??
Comme Pn a des bases, tu peux en choisir une, puis construire un système orthogonal avec (orthogonalisation de Gram-Schmidt). Ce qui montre qu'elle existe !
Cordialement.
Nb : là, j'ai bien lu
d'accord
Rn[x], est l'espace vectoriel des polynomes de degre plus petit ou egal a n
J'ai une base formée des polynomes 1, X, X^2 , .... X^n
on me donne un produit scalaire sur cet espace vectoriel,
Question: comment orthogonaliser la base, pour obtenir une nouvelle base de Rn[X], orthogonale.
Bein, je garde le premier vecteur 1
P0=1
le second vecteur de la base, X:
P1=X- (X|1)/(1|1) 1
ceci est un polynôme, de degre 1, orthogonal à 1.
Je continue pour X^2
P2= X^2- (X^2|P0)/(P0|P0)P0 - (X^2|P1)/(P1|P1)P1
P2 est orhogonal à P0, et à P1, et il est de degré 2
Continuons:
P3= X^3 - (X^3|P2)/(P2|P2)P2 - (X^3|P1)/(P1|P1)P1 - (X^3|P0)/(P0|P0)P0
tiens, P3 est orthogonal à P2, P1, p0, et il est de degré 3.
Continuons
...
A la fin tu as une base orthogonale. C'est exactement le meme procédé que pour un espace vectoriel classique.
Si tu veux la base orthonormée tu peux aussi.
d'accord !! merci beaucoup
dans la suite du probleme on me demande : si (Pn) un systeme orthogonal montrer que Pn+1 est orthogonale a Rn[X]
Alors j'ai refais pareil, j'ai dit que la famille Po,...,Pn+1 est base de Rn+1[X] . Mais je vois pas comment montrer que Pn+1 est orthogonale a Rn[X] ? je voulais montrer que la famille (Po,...,Pn+1) est un syteme orthogonal mais je vois pas comment faire ? merci d'avance
bien sur qu elle est orthogonale. c'est comme ca que tu l'as construite.
à chaque etape, ton P_(n+1) à été construite comme etant orthogonal aux P_0, .... P_n, et à l'espace vectoriel qu'ils engendrent. Or cet espace est R_n[X]!
d'accord, oui c'est a quelque chose pres comme cela que j'ai rédigé !! merci
J'ai d'abord pensé a regard chaque n et dire que les polynome de Q et P de meme degré seraient proportionnels donc que le lambda existerait mais je ne voit pas comment montrer qu'ils sont forcements proportionnels ?
Q_n, est probablement defini comme système orthogonal, ou deg Q_n= n
donc oui, c'est trivial. Il te suffit de remarquer que tout systeme de ce genre verifie la propriété que tu viens de voir pour le cas du systeme que tu viens de construire: Q_{n+1} orthogonal à R_n[x].
ca marche si je dis que les Qn est orthogonal a Rn[X] et Q est CL des P car Q est exprimée dans la base constituée par les P et donc apres il reste a faire le ps des Pk avec les Qn mais je ne vois pas trop comment faire ce produit scalaire en fait ?
J'espère qu'il s'agit de deux systèmes orthogonaux particuliers, car pour deux systèmes orthogonaux quelconques de Rn[X], il n'y a aucune raison que ce soit vrai : Pourquoi P0 et Q0 seraient-ils proportionnels ? Ou Pn et Qn, si on commence par eux ...Envoyé par olympiquega
Mais tu as sans doute un énoncé précis. Il serait bon de le donner.
Cordialement.
mon énoncé vous l'avez : et la question précisément est : Si(Pn) et (Qn) sont deux systemes orthogonaux montrer l'existence d'une suite (lambda n) de réels non nuls tels que pour tout n Pn= lambda n Qn.
je suis vraiment désolé de posert toutes ces questions mais j'ai vraiment du mal avec tout ce qui est notion d'orthogonalité et produit scalaire !
Ah oui,
j'avais raté que dans la définition, il y a la condition "système échelonné". Pas de problème pour n=0 et la récurrence fonctionne.
Cordialement.
pour montrer l'existence des lambda , concretement je dois faire quoi alors ?
Je viens de te le dire !
Tu rédiges une belle preuve par récurrence. Pour 0 c'est élémentaire (je te laisse comprendre pourquoi). Et le passage de n à n+1 s'appuie sur la question précédente (si j'ai bien compris de quoi tu parlais).
"j'ai vraiment du mal avec tout ce qui est notion d'orthogonalité et produit scalaire ! " ?? ne te prends pas la tête, tu es en train d'apprendre, il est normal que tu ne saches pas tout faire immédiatement sans réfléchir. prends le temps de comprendre, relis souvent le cours, essaie éventuellement de te faire un exemple.
Cordialement.
d'accord, merci !!!!
Je suis d'un naturel jaloux, je préfère donc que vous me posiez vos questions directement plutôt que sur des forums...
On en parlera demain.
N'est ce pas M. Berner ?
