Zéros d'un système orthogonal de polynômes

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que, en considérant un système orthogonal de (c'est-à-dire que et en considérant le produit scalaire ), tous les zéros de sont réels, simples et dans l'intervalle .

J'ai déjà montré qu'il est impossible qu'il n'existe aucun zéro de contenu dans de multiplicité impaire. Je dois ensuite supposer qu'il existe de tels zéros.

J'ai comme indication que je peux calculer le produit scalaire , où sont les zéros en question.

Mais je ne vois pas comment procéder. Quelqu'un pourrait-il me donner un indice ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Thorin]

Salut,
comme tu ne veux qu'un indice, je te propose de montrer que d'une part, ce produit scalaire est non nul, et que d'autre part, si jamais r est strictement inférieur à n, alors, il est nul. (le but ultime étant de montrer que r=n)

[Seirios]

Il me semble avoir trouvé grâce à ton indication :

On a puisque est de signe constant (et non nul puisque ce sont des polynômes).

D'autre part, et , donc le produit scalaire serait nul si puisque , et on conclut ensuite facilement.

Merci

[Thorin]

Voilà, c'est à ça que je pensais.

[A voir en vidéo sur Futura]