Bonjour la communauté !
J'ai un petit problème que je ne sais pas résoudre, et votre aide me serait précieuse :
Un polynôme de degré inférieur ou égal à 2n-1 admet n racines distinctes. Le polynôme dérivé en admet également n, mais les n même.
Que puis-je en conclure ?
Merci beaucoup
Bonjour,
Le polynôme initial a toutes ses racines en commun avec son polynôme dérivé, donc n'a que des racines multiples, ce qui fait beaucoup de racines...
Il s'agit du polynôme nul. Car il me semble que si le polynôme dérivé admet les mêmes racines, cela implique que ces racines étaient multiples dans le polynôme. Or on nous dit que n d'entre elles sont distinctes et que le degré est inférieur ou égal à 2n-1. Cela n'est possible que pour le polynôme nul.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Alors, oui le polynôme est le polynôme nul, mais ça c'est justement ce que je cherche a montrer.
Vous me parlez tous deux de racines multiples, mais qu'est-ce que ça veut dire ?
Ca veut dire (si on appelle P ce polynôme) qu'on peut écrire P(X) = (X-a)alpha*Q(X) avec alpha >= 2 et a la racine multiple.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Si tu veux, P doit avoir n racines distinctes or on sait qu'elles sont toutes au moins d'ordre 2 (alpha = 2). Cela voudrait dire que P admet 2n racines ce qui est impossible car P est de degré <= 2n-1 et admet donc au maximum 2n-1 racines. Une seule solution possible alors : le polynôme nul.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Puisque chacune des racines est multiple, le degré du polynôme est nécessairement supérieur ou égal à 2n dans ce cas. Ce qui n'est pas possible : il s'agit du polynôme nul, si j'ai tout compris ...
Merci !
Pas possible à cause du degré du polynôme. Tu as tout compris !
De rien ! (c'était vite réglé dis moi)
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
