Revêtement simplement connexe

[invite2e5fadca]

Bonjour. J'ai un petit problème de justification avec l'exercice suivant :

Soit X la réunion des cercles de centre ( 1/n , 0 ) et de rayon 1/n. Montrer que X n'admet pas de revêtement simplement connexe.

Il suffit de remarquer que pour tout voisinage U de (0 , 0) il existe N tel que le chemin f(t)=(1/N * cos(t*2*Pi) + 1/N , 1/N * sin(t*2*Pi)) (C'est un petit cercle). Pour terminer l'exercice il suffit de montrer que ce chemin n'est pas trivial dans Pi_1(X , (0,0)), ce qui parait évident, mais je n'arrive pas à trouver de justification propre.

Des idées ?

Merci.
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[invite4ef352d8]

Salut !


prend e un point du plan qui est "à l'intérieur" de ce cercle, mais qui n'appartiens pas à X.

on sais que ton lacet n'est pas trivial dans le P1 du plan privé de e, donc toute homotopie du lacet sur un lacet constant doit "passer" par le point e (sinon ca serait une homotopie dans le plan privé de e) et comme e n'appartiens pas à X, ca ne peut pas être une homotopie dans X...

[invite2e5fadca]

Merci, ça a l'air bien. Si le lacet f était trivial alors il serait aussi trivial dans Pi_1(R^2 - {le point}, (0,0)) ce qui n'est pas le cas.

C'est tout bête. Merci. Merci.