GLn(IR) à la fois connexe et pas connexe?

invite769a1844 · 08/04/2009, 14h28

Bonjour,

je sais que $\text{[math]}$ n'est pas connexe.
Mais il me semble que $\text{[math]}$ est engendré par des matrices de type transvections/dilatations.

Si par exemple je prends $\text{[math]}$ ,
je peux écrire $\text{[math]}$ de cette façon:

$\text{[math]}$

où les $\text{[math]}$ sont de la forme $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ désigne la matrice élémentaire).

Je pose alors $\text{[math]}$ ,
et le chemin

$\text{[math]}$

me fournirait un arc continu reliant $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , et du coup $\text{[math]}$ serait connexe par arcs.

Il y a un bug quelque part c'est sûr, mais je ne vois pas où..

De plus il semblerait que ce raisonnement ne tombe en défaut si on remplace $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .

Merci pour votre aide.

invite57a1e779 · 08/04/2009, 14h32

J'aimerais bien voir la tête de ton arc lorsque $\text{[math]}$ ... et même plus simplement $\text{[math]}$ dans le cas $\text{[math]}$ .
Tes matrices $\text{[math]}$ ne sont pas inversibles pour tout $\text{[math]}$ !!!

invite769a1844 · 08/04/2009, 14h46

Envoyé par God's Breath

Tes matrices $\text{[math]}$ ne sont pas inversibles pour tout $\text{[math]}$ !!!

Ah oui d'accord, je viens de voir ça sur ton exemple pour n=1,
et ce sont les matrices de dilatation qui apporte ce problème, pas les matrices de transvections.

Merci GB.

GLn(IR) à la fois connexe et pas connexe?

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