Bonjour tout le monde,
J'ai une petite question de topologie/algèbre.
Soit (G, . ) un groupe topologique.
Soit C la composante connexe de son élément neutre.
Est-ce que a.C (où a appartient à G) est la composante connexe de a ?
Il est connexe car la translation est une application continue mais je me demande si c'est le plus grand ensemble connexe contenant a.
Merci
Siest un connexe contenant
J'en profite pour poser une autre question sur le même sujet :
Si on considère le morphisme det qui va de l'ensemble des matrices orthogonales (noté O(d) ) dans {-1, 1}.
det(A) = 1 ou -1 pour tout A dans O(d).
Dans mon cours je vois marqué que la composante connexe de I dans O(d) ne peut contenir que des rotations...
J'aimerais justifier cette dernière phrase rigoureusement... mais je n'y arrive pas lol
En fait, comme O(d) s'écrit comme réunion disjointe de {A dans O(d) tels que detA=1} et {A dans O(d) tels que detA= -1} ça parait évident mais comment bien l'écrire ?
Voila je vous remercie.
L'application
Tu en déduis que
Ben oui forcément x -> a*x et un homéomorphisme (et aC = Ca d'ailleurs)Envoyé par james_83
Bonsoir God's Breath,
Merci pour tes réponses !
Mon premier problème est maintenant résolu.
Par contre, pour ma deuxième question, je vois juste que
{A dans O(d) tels que detA= -1} et {A dans O(d) tels que detA= 1} sont fermés... (j'en déduis que O(d) n'est pas connexe)
Et même en supposant qu'ils soient aussi ouverts, je ne vois pas pourquoi la composante connexe de I dans O(d) ne peut contenir que des rotations.
(je suis conscient que c'est très simple, mais je ne vois pas lol)
Bref, si tu peux m'en dire un peu plus....
Les ensembles
Un sous-ensemble connexe de
Ok j'ai compris, merci beaucoup pour ton aide.
Bonne Soirée
