Intersection de compacts connexe

[invitea41c27c1]

Bonjour,
Je voudrais savoir comment on demontre qu une intersection decroissante de compacts connexes est encore connexe.
Merci.
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[invite769a1844]

Bonsoir,

tes compacts connexes ils vivent dans quel genre d'espace (métrique ou simplement topologique)?

[invite35452583]

Dans un espace topologique : par l'absurde.
Supposons que ce ne soit pas le cas alors il existe F et F' fermés non vides tels que .
On utilise la normalité de K_i pour un i quelconque dans I (compact séparé=>normal) pour "agrandir" F et F'. Leur complémentaire est fermé donc compact et en plus non vide (car ...).
On en extrait une nouvelle suite de compacts emboîtés dont l'intersection est non vide. On a alors une contradiction avec l'hypothèse de départ.

Rappel du pourquoi compact (ce qui suppose séparé)=>normal :

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K et C deux compacts dijoints.
On considère pour x dans C et y dans K, les ouverts Ux,y et Vx,y disjoints le premier contenant x le second y.
Pour y fixé la famille (Ux,y)x est un recouvrement ouvert de C, on peut en extraire un recouvrement fini : (Uxi,y)i=1...n l'ouvert Uy=union des Uxi,y contient C en entier et est disjoint de l'ouvert Vy=intersection des Vxi,y.
La famille (Vy)y est un recouvrment de K, on peut en extraire un recouvrement fini (Vyi)i. On pose V=union de ceux-ci, U=intersection des Uyi. U et V sont les ouverts recherchés.

Je ne sais pas s'il y a une preuve plus simple pour un espace métrique.

[invite769a1844]

Bonjour homotopie,

que signifie "normal" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour homotopie,

que signifie "normal" ?

Un espace normal est un espace dans lequel les points sont des fermés et pour lequel on peut séparer les fermés : pour deux fermés F et F' disjoints il existe U (resp. U') ouvert contenant F (resp. F') tels que U et U' soient eux aussi disjoints.

[invite769a1844]

ok, je ne connaissais pas, merci.