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Inclusion de sous espaces



  1. #1
    Thoy

    Inclusion de sous espaces


    ------

    Bonsoir à vous

    A une matrice n,p, je dois démontrer que Ker(tA)=(ImA)┴ et Im(tA)=(KerA)┴.

    J'ai essayé par double inclusion mais bon je n'aboutis pas, et c'est dans le chapitre sur les espaces euclidiens, à aucun moment je n'utilise une propriété telle...

    Je voudrais juste une petite indication.. Merci de votre aide

    -----

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  4. #2
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Si X appartient à Ker(tA), et si Y appartient à Im(A), que vaut le produit scalaire de X et de Y ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #3
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Euh.. A vrai dire, je n'arrive pas à faire les distinctions entre les Ker, Im, orthogonaux et supplémentaires...

  6. #4
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Ce que je veux dire c'est que j'embrouille un peu

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  8. #5
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Par quelle formule (matricielle) calcules-tu le produit scalaire de deux vecteurs X et Y ?
    Comment exprimes-tu le fait que Y appartienne à Im(A) ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #6
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Par tXY!

    Mais en partant de X qui appartient à Ker(tA), j'ai tAX=0 donc <A|X>=0... Je n'arrive pas à faire le lien avec l'orthogonal de ImA!

    Y appartient à ImA ssi il existe X tel que AX=Y!

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  11. #7
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Pouvez-vous m'aider?

  12. #8
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Voila ce que j'ai fait :

    Soit X de Ker(tA), alors tAX=0 donc <A|X>=0.
    Soit Y de ImA alors choisissons X' tel que Y=AX'.

    Donc <X|Y>=<X|AX'>=X'<X|A>=0.

    Est-ce correct?

  13. #9
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    Soit X de Ker(tA), alors tAX=0 donc <A|X>=0
    .
    Non ! Le produit scalaire de la matrice A par le vecteur X n'existe pas.
    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    Soit Y de ImA alors choisissons X' tel que Y=AX'.

    Donc <X|Y>=<X|AX'>=X'<X|A>=0.
    Bon départ, mais tu ne peux toujours pas envisager le produit scalaire de A et de X.
    Il faut écrire :
    <X|Y>=<X|AX'>=tX(AX')=(tXA)X' = t(tAX)X'=...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #10
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Pourquoi je ne peux pas le faire ? C'est un produit de deux matrices non ? Le produit scalaire de X et Y c'est bien tXY non ?

    Pourquoi ce n'est pas la même chose?

  15. #11
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    (je ne comprend même pas le passage successif des égalités... :/

    =tX(AX')=(tXA)X' = t(tAX)X'=...)

  16. #12
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    On utilise l'associativité du produit de matrices, puis la formule qui donne la transposée d'un produit de matrices.
    Le but du jeu est de faire apparaître tAX qui est nul, puisque X appartient au noyau de tA, mais qui n'est pas le produit scalaire de la matrice A par le vecteur X (on ne calcule que le produit scalaire de deux vecteurs qui appartiennent à un même espace vectoriel).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  18. #13
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Quoique si !

    La suite du raisonnement serait donc

    <X|Y>=<X|AX'>=tX(AX')=(tXA)X ' = t(tAX)X'=<tAX/X'>=0 car X est dans KertA?

  19. #14
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Oui d'accord j'ai bien compris les raisonnements, merci beaucoup

    La seule chose que j'ai du mal c'est pourquoi "alors tAX=0 donc <A|X>=0" est faux justement, n'est-ce pas justement la formule?*

  20. #15
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    t(tAX)X'=<tAX/X'>=0 car X est dans KertA?
    Oui. Donc X est orthogonal à Y, vecteur quelconque de Im(A), c'est-à-dire que X appartient à l'orthogonal de Im(A).

    Les autres inclusions se démontrent par des calculs du même genre.

    Petite indication : pour montrer qu'un vecteur X est nul, il est souvent pratique de montrer que son carré scalaire tX.X est nul.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  21. #16
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    Oui d'accord j'ai bien compris les raisonnements, merci beaucoup

    La seule chose que j'ai du mal c'est pourquoi "alors tAX=0 donc <A|X>=0" est faux justement, n'est-ce pas justement la formule?*
    Attention, lorsque X est un vecteur, tAX est aussi un vecteur (qui n'appartient d'ailleurs pas au même espace que X).
    La relation tAX=0 exprime qu'un vecteur est nul. Le vecteur tAX n'est en aucun cas le produit scalaire que tA et de X ; un produit scalaire est un nombre !
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  22. #17
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    D'accord dans ce cas

    J'ai simplement une question, pour étudier la réciproque, comment puis-je traduire qu'un vecteur appartient à l'orthogonal de Im A ? Parce que du coup je bloque un peu!

  23. #18
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Tu choisis un vecteur appartenant à Im(A), il s'écrit AX'.
    Si le vecteur X appartient à l'orthogonal de Im(A), alors tX(AX')=<X|AX'>=0.
    Le tout est de choisir convenablement le vecteur X'... pour obtenir le résultat voulu.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  25. #19
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Il faut que je choisisse X' qui n'appartient pas à Ker (tAX) si je ne me trompe pas ?

  26. #20
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    Ker (tXA) pardon

    Est-ce légitime? Ai-je le droit ?

  27. #21
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    Ker (tXA) pardon

    Est-ce légitime? Ai-je le droit ?
    C'est légitime, et c'est possible, à condition que le complémentaire de Ker(tXA) soit non vide...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  28. #22
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    D'accord, mais ceci dit rien ne me dit que Ker(tXA) n'est pas déjà l'espace vide... non ?

  29. #23
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Tout le problème est de savoir ce que peut bien être Ker(tXA).
    Il faut donc se servir de l'hypothèse : X est orthogonal à Im(A).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  30. #24
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    ... Jsuis embrouillée comme pas possible.

    J'ai justement utilisé ça pour arriver à ça.
    J'ai Y dans Im(A), et X' tel que Y=AX', X' qui n'est pas dans Ker(tXA) (a priori) donc
    tX(AX')=0 donc tX(AX')=(tXA)X'=t(tAX)X'=0 donc tAX=0 car X' n'appartient pas à Ker(tXA)...

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  32. #25
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    X' qui n'est pas dans Ker(tXA) (a priori)
    Non, tout ce que tu sais a priori sur X', c'est que Y=AX', c'est-à-dire pas grand chose.

    Plus simplement : pour tout X', Y=AX' appartient à Im(A) et est orthogonal à X, donc : tX(AX')=0.
    Or tX(AX') = (tXA)X', donc (tXA)X'=0 : tout vecteur X' est élément de Ker(tXA), et tXA = 0.
    Reste à prouver que X appartient à Ker(tA).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  33. #26
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    C'est justement en supposant que X' n'appartient à pas à Ker(tXA) que j'en déduis que X appartient à Ker (tA), ce que je cherche justement à démontrer! Non ?

    (ça fait long 4h pour un exercice lol )

  34. #27
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    C'est justement en supposant que X' n'appartient à pas à Ker(tXA)
    Non, on démontre que tout X' appartient à Ker(tXA).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  35. #28
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    D'accord.

    Mais même si j'arrivais à le démontrer, si j'ai (tXA)X'=0 ça ne veut pas forcément dire que tXA=0 ?
    Et je ne vois pas comment arriver à montrer ça..

  36. #29
    God's Breath

    Re : Inclusion de sous espaces

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    si j'ai (tXA)X'=0 ça ne veut pas forcément dire que tXA=0 ?
    Mais si ! Puisque c'est vrai pour tout X' : la matrice tXA représente une application linéaire nulle, donc cette matrice est nulle.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  37. #30
    Thoy

    Re : Inclusion de sous espaces

    D'accord.. Je comprend bien.

    J'imagine que c'est la même chose pour la réciproque de l'autre proposition.

    Je prend X de Ker A donc AX=0.
    Je choisis Y dans l'orthogonal de Ker A, j'ai donc tYAX=0 donc X appartient à Ker (tYA).
    C'est bien ça ?

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