Bonsoir à vous
A une matrice n,p, je dois démontrer que Ker(tA)=(ImA)┴ et Im(tA)=(KerA)┴.
J'ai essayé par double inclusion mais bon je n'aboutis pas, et c'est dans le chapitre sur les espaces euclidiens, à aucun moment je n'utilise une propriété telle...
Je voudrais juste une petite indication.. Merci de votre aide
Si X appartient à Ker(tA), et si Y appartient à Im(A), que vaut le produit scalaire de X et de Y ?
Euh.. A vrai dire, je n'arrive pas à faire les distinctions entre les Ker, Im, orthogonaux et supplémentaires...
Ce que je veux dire c'est que j'embrouille un peu
Par quelle formule (matricielle) calcules-tu le produit scalaire de deux vecteurs X et Y ?
Comment exprimes-tu le fait que Y appartienne à Im(A) ?
Par tXY!
Mais en partant de X qui appartient à Ker(tA), j'ai tAX=0 donc <A|X>=0... Je n'arrive pas à faire le lien avec l'orthogonal de ImA!
Y appartient à ImA ssi il existe X tel que AX=Y!
Pouvez-vous m'aider?
Voila ce que j'ai fait :
Soit X de Ker(tA), alors tAX=0 donc <A|X>=0.
Soit Y de ImA alors choisissons X' tel que Y=AX'.
Donc <X|Y>=<X|AX'>=X'<X|A>=0.
Est-ce correct?
.Envoyé par Thoy
Non ! Le produit scalaire de la matrice A par le vecteur X n'existe pas.
Bon départ, mais tu ne peux toujours pas envisager le produit scalaire de A et de X.
Il faut écrire :
<X|Y>=<X|AX'>=tX(AX')=(tXA)X' = t(tAX)X'=...
Pourquoi je ne peux pas le faire ? C'est un produit de deux matrices non ? Le produit scalaire de X et Y c'est bien tXY non ?
Pourquoi ce n'est pas la même chose?
(je ne comprend même pas le passage successif des égalités... :/
=tX(AX')=(tXA)X' = t(tAX)X'=...)
On utilise l'associativité du produit de matrices, puis la formule qui donne la transposée d'un produit de matrices.
Le but du jeu est de faire apparaître tAX qui est nul, puisque X appartient au noyau de tA, mais qui n'est pas le produit scalaire de la matrice A par le vecteur X (on ne calcule que le produit scalaire de deux vecteurs qui appartiennent à un même espace vectoriel).
Quoique si !
La suite du raisonnement serait donc
<X|Y>=<X|AX'>=tX(AX')=(tXA)X ' = t(tAX)X'=<tAX/X'>=0 car X est dans KertA?
Oui d'accord j'ai bien compris les raisonnements, merci beaucoup
La seule chose que j'ai du mal c'est pourquoi "alors tAX=0 donc <A|X>=0" est faux justement, n'est-ce pas justement la formule?*
Oui. Donc X est orthogonal à Y, vecteur quelconque de Im(A), c'est-à-dire que X appartient à l'orthogonal de Im(A).
Les autres inclusions se démontrent par des calculs du même genre.
Petite indication : pour montrer qu'un vecteur X est nul, il est souvent pratique de montrer que son carré scalaire tX.X est nul.
Attention, lorsque X est un vecteur, tAX est aussi un vecteur (qui n'appartient d'ailleurs pas au même espace que X).Oui d'accord j'ai bien compris les raisonnements, merci beaucoup
La seule chose que j'ai du mal c'est pourquoi "alors tAX=0 donc <A|X>=0" est faux justement, n'est-ce pas justement la formule?*
La relation tAX=0 exprime qu'un vecteur est nul. Le vecteur tAX n'est en aucun cas le produit scalaire que tA et de X ; un produit scalaire est un nombre !
D'accord dans ce cas
J'ai simplement une question, pour étudier la réciproque, comment puis-je traduire qu'un vecteur appartient à l'orthogonal de Im A ? Parce que du coup je bloque un peu!
Tu choisis un vecteur appartenant à Im(A), il s'écrit AX'.
Si le vecteur X appartient à l'orthogonal de Im(A), alors tX(AX')=<X|AX'>=0.
Le tout est de choisir convenablement le vecteur X'... pour obtenir le résultat voulu.
Il faut que je choisisse X' qui n'appartient pas à Ker (tAX) si je ne me trompe pas ?
Ker (tXA) pardon
Est-ce légitime? Ai-je le droit ?
C'est légitime, et c'est possible, à condition que le complémentaire de Ker(tXA) soit non vide...Ker (tXA) pardon
Est-ce légitime? Ai-je le droit ?
D'accord, mais ceci dit rien ne me dit que Ker(tXA) n'est pas déjà l'espace vide... non ?
Tout le problème est de savoir ce que peut bien être Ker(tXA).
Il faut donc se servir de l'hypothèse : X est orthogonal à Im(A).
... Jsuis embrouillée comme pas possible.
J'ai justement utilisé ça pour arriver à ça.
J'ai Y dans Im(A), et X' tel que Y=AX', X' qui n'est pas dans Ker(tXA) (a priori) donc
tX(AX')=0 donc tX(AX')=(tXA)X'=t(tAX)X'=0 donc tAX=0 car X' n'appartient pas à Ker(tXA)...
Non, tout ce que tu sais a priori sur X', c'est que Y=AX', c'est-à-dire pas grand chose.
Plus simplement : pour tout X', Y=AX' appartient à Im(A) et est orthogonal à X, donc : tX(AX')=0.
Or tX(AX') = (tXA)X', donc (tXA)X'=0 : tout vecteur X' est élément de Ker(tXA), et tXA = 0.
Reste à prouver que X appartient à Ker(tA).
C'est justement en supposant que X' n'appartient à pas à Ker(tXA) que j'en déduis que X appartient à Ker (tA), ce que je cherche justement à démontrer! Non ?
(ça fait long 4h pour un exercice lol
Non, on démontre que tout X' appartient à Ker(tXA).
D'accord.
Mais même si j'arrivais à le démontrer, si j'ai (tXA)X'=0 ça ne veut pas forcément dire que tXA=0 ?
Et je ne vois pas comment arriver à montrer ça..
Mais si ! Puisque c'est vrai pour tout X' : la matrice tXA représente une application linéaire nulle, donc cette matrice est nulle.
D'accord.. Je comprend bien.
J'imagine que c'est la même chose pour la réciproque de l'autre proposition.
Je prend X de Ker A donc AX=0.
Je choisis Y dans l'orthogonal de Ker A, j'ai donc tYAX=0 donc X appartient à Ker (tYA).
C'est bien ça ?
