omega = 1 + omega != omega + 1

[Médiat]

Bonjour,

Dans un post récent j'ai eu à rappeler que , alors que , je vais détailler ces deux points, en espérant ne plus lire des phrases comme : "on ne peut rien mettre derrière l'infini".

Version ludique :

Supposons que l'hôtel de Hilbert (avec une infinité dénombrable de chambres numérotées par les entiers) soit construit avec une chambre par étage (pour simplifier la visualisation) lorsqu'un nouveau client arrive, on peut le placer dans la chambre 0, mettre le client de la chambre 0 dans la chambre 1 etc. On peut donc héberger tous les clients, y compris le nouveau sans changer l'hotel.

Si au contraire on veut placer le nouveau client "après" ceux qui sont en place, alors on ne peut pas le mettre dans une chambre de l'hotel car quelle que soit la chambre dans laquelle on met le nouveau client, il y avait déjà un occupant et on ne peut le reclasser en dessous puisque toutes les chambres sont occupées, par contre on peut contruire une annexe avec une seule chambre, à coté de l'hotel existant.

Version formelle :

1) l'addition des ordinaux est définie de la façon suivante :
Soit et deux ordinaux (donc avec un bon ordre <), soit et , l'ordre sur et sont les ordres naturellement induit par ceux de et de ; il est clair que l'application de dans définie par est une bijection croissante, et que l'application de dans définie par est une bijection croissante, et sont donc deux représentants des ordinaux et .
On munit (qui est en fait l'union disjointe de et : ) de l'ordre lexicographique.

2) et L'application définie par
est clairement une bijection croissante, donc est bien isomorphe à (et donc ).

3) Pour le calcul de , les isomorphismes de départ sont les mêmes, le problème vient de l'isomorphisme entre et .
Soit une bijection de ,
et donc ne peut être croissante, donc .
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