Convolution

[invite872ca88f]

La question est dans l'image.

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[invite5805c432]

normalement on utilise "holder" dans une variante avec f\in L^p, g=1, et la mesure \mu(dx) sur laquelle ce fait l'integration est bornée, ce qui est en gros l'inégalité de Jensen pour la fonction avec la puissance ^p.

La démonstration du resultat pour L^infini convolué abec L1, est immediate. C'est juste que l'on aime sortir un résultat plus fin, car la convoluée est non seulement bornée mais aussi uniformément continue.

[invite872ca88f]

Ok merci, je ne connaissais pas cette inégalité de Jensen. C'est donc elle qui me permet de prouver dans L^infini?
Dans le livre avec lequel j'étudie la convolution, l'auteur dit également que la démo dans ce cas est immédiate.

[invite5805c432]

la démo dans le cas infini est immediate, il suffit d'ecrire la définition



ceci etant vrai quelque soit x, donc


regarde la demo du cas L1*L^p, bien plus elaborée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite872ca88f]

Merci beaucoup, j'avais fait une erreur d'écriture en cherchant la démo dans ce cas et ne voyais pas pourquoi c'était évident. Je comprenais justement mieux les cas où p n'est pas infini.

[invite872ca88f]

J'ai une autre question dans un cas plus général.

[invite5805c432]

il intègre les deux membres sur x, ce qui préserve l'inegalité, puis applique Fubini sur le membre de droite.

[invite872ca88f]

Ca fonctionne parfaitement en effet. Merci