bonjour à tous je bloque un peu sur la fin d'un exercice...
Soient f dans Lp (Rd) et g une fonction continue à support compact de Rd dans R. Démontrer que la fonction convolé f*g: x->intégrale sur Rd de f(y)g(x-y)dy est bien défnie en tout point x et est continue (utiliser le théorème de heine) en sachant également que je dois prouver dans une question plus tard que ||f*g||Lp<||f||Lp*||g||L1 donc je peux pas l'utiliser ici du coup je vois pas trop...
Il faudrait aussi préciser que, sinon ça n'est pas vrai (il suffit pour s'en convaincre de choisir x->1/|x| indicatrice de [-1,1]qui est dans L^1/2 (R) )
Pour ce qui est de la bonne définition, je pense qu'il suffit de majorer g sur son compact puis de découper la fonction en 2 parties pour montrer que f est alors intégrable sur {x}-K (qui est aussi un compact)
Alors on a:
ah ouai ok...c'était pas super évident pour montrer que c'était défini...Pour la continuité, faut que je dérive f(y)g(x-y) par rapport a x? mais après je vois pas comment utiliser le théorème de heine...
Le théorème de Heine dit que g est uniformément continue.
Donc tu as :
Puis, comme g est uniformément continue, pour tout epsilon > 0, il existe un eta tel que si
Donc si
On sort le epsilon et, comme dans la question précédente, l'intégrale est finie. On a alors :
Ainsi f*g est continue.
PS : ma rédaction n'est pas géniale.
pour la première je me demandais si on pouvait pas plutôt majorer l'integrale pas ||g||*
Non, puisque ça n'est pas parce qu'une fonction est dans
Exemple, pour p > 1 la fonction
Ici il est impératif que g soit à support compact, c'est ce qui fait marcher tout le bazar. Si g n'est pas à support compact alors f*g n'est pas définie sur tout R^d (voir même en aucun point de R^d) pour certaines fonctions f et g
je pensais plutôt utiliser le fait que g est continue à support compact et est donc dans L1
Oui, mais ici le problème c'est f ^^
Si f était dans L1, oui, on pourrait majorer g par sa norme infinie, et hop, il n'y aurai plus de problème... sauf que, malheureusement, f n'est pas forcément dans L1
