Bonsoir, je suis en plein calcul de dénombrement, et je dois utiliser la formule de Poincaré.
Seulement, à moins (ce qui est possible !) que je ne me sois trompé, voilà ma formule:. Je devrais aboutir à une forme simplifiée, toujours en somme mais sans la seconde... :/
Y a t'il une simplification à effectuer, notamment pour
Tu peux donner l'énoncé, car juste avec la formule là je ne vois pas :/
Et non, il n'y a pas franchement de simplification de la somme intérieure
Oui bien sur !
Comme je le disais je me suis sans doute trompé (je ne suis vraiment pas fort en maths, même si j'aime ça !)
Je dois calculer la probabilité d'obtenir une application bijective sans point fixe d'un ensemble à n éléments dans lui même !
En fait je suis amené à calculer le cardinal de l'intersection des ensembles notes B des bijections qui conservent un point fixe (B1 pour x1, B2 pour x2 ... Bk pour xk), d'où une formule du crible ... Mais j'avoue avoir du mal à sommer ces cardinaux ! :/
Désolé d'avoir répondu si tard !
Hum... en effet, tu semble t'être mélangé un peu les pinceaux.
Par la formule du crible on a que le nombre de permutations avec point fixe est :
En choisisant k éléments, il y a (n-k)! permutations qui fixent ces k éléments, d'où :
Malheureusement il n'y a pas de moyen pratique d'exprimer cette somme.
Par contre la probabilité d'obtenir un permutation avec point fixe tend vers une valeur sympa
Je récapitule (je préfère être sûr d'avoir compris, parce que je pense ne pas tout saisir :/)
On a pour tout i entre 1 et n
De plus,
Je parviens donc aussi à
Or
De plus, Il y a autant de façon d'ordonner k éléments distincts dans n que d'éléments dans une partie de k éléments d'un ensemble à n éléments, qui est par définition
On a donc
On a alors
Bon, j'arrive donc a ton résultat (youpi !) ^^
Mais
Ce nombre ne vaut il pas, alors,
J'essaie de simplifier tout ça, mais encore sans succès !
Bon, je rectifie: je trouve quand même la "simplification" (il faut être idiot pour ne pas l'avoir vu, vraiment !):
