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Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]



  1. #1
    onhernow

    Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]


    ------

    Bonjour, j'ai un petit problème pour prouver une convergence et trouver la limite d'une série qui est la somme d'une somme...

    On a :

    Et je voudrais montrer que la série converge et trouver sa limite ...

    Montrer que Un converge c'est simple, mais par contre montrer que sa somme converge ...

    Bref je suis complètement perdu, si quelqu'un pouvait me filer un petit coup de main ce serait super sympa

    Merci d'avance

    a+

    -----

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  4. #2
    Jeanpaul

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    T'es sûr que ça converge ?
    Quand on écrit la somme, on voit plutôt venir une série dont le terme général ressemble à (-1)^k.racine(k)

  5. #3
    onhernow

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Pour Un c'est sur vu que c'est une serie alternée, et que 1/racine(k) est une fonction continue décroissante.
    Après pour la série somme de Un ben en principe c'est censé converger puisqu'il m'est demandé de trouver sa limite après avoir montré que la série est convergente.

  6. #4
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]


    pour à mon avis, et de manière certaine pour .
    Si la série est convergente, sa somme risque d'être en prolongeant analytiquement la formule.
    Dernière modification par breukin ; 14/10/2009 à 15h56.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Par ailleurs avec :

    est donc alternée si on arrive à montrer la décroissance de qui est bien positive.

  9. #6
    Jeanpaul

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Citation Envoyé par breukin Voir le message

    pour à mon avis, et de manière certaine pour .
    Si la série est convergente, sa somme risque d'être en prolongeant analytiquement la formule.
    Pige pas un truc, là : comme s=1/2, on a une série dont le terme général ne tend pas vers zéro, ça ne peut converger, non ?

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  11. #7
    onhernow

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    breukin : Je n'ai pas vraiment compris ta méthode ...

    Par contre j'ai décomposé la suite et je crois pouvoir résoudre le problème de la convergence, mais pour cela il faudrait que je puisse remplacer le terme suivant par une intégrale simple :


    Vous voyez comment faire ? je ne parviens pas à trouver cette intégrale

  12. #8
    onhernow

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Peut être devrais-je poser cette question dans un nouveau sujet ? Pour optimiser le nombre de visite.

  13. #9
    God's Breath

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Par le critère spécial pour les séries alternées a le signe du premier terme de la série, donc de .

    Par suite et est la somme d'une série alternée.
    Comme on est toujours dans le cadre du critère spécial, a le signe du premier terme de la série : et la série est alternée convergente.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #10
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Pour la valeur, c'est un pari : puisque dans un demi-plan complexe, la série est absolument convergente vers une fonction que l'on sait déterminer par sommation explicite et dont on connaît un prolongement analytique, alors dans les zones où la série est convergente mais où le calcul de sommation explicite passe par une étape illicite, la somme devrait toutefois être égale à la valeur obtenue par le prolongement analytique.

  15. #11
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Pour on a :

    Donc pour on a:
    Dernière modification par breukin ; 14/10/2009 à 20h44.

  16. #12
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Donc pour on a:

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  18. #13
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    J'ai fait une erreur :


    Et j'ai trouvé sur http://functions.wolfram.com/ZetaFun...Zeta/07/01/01/ que pour :
    (formule 8).

    Donc pour :



    Comme j'avais dit plus brutalement...

  19. #14
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Pour , on a donc en utilisant l'équation fonctionnelle de .

  20. #15
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    On va terminer la démonstration. On a pour :



    Donc pour , en intégrant par parties :


    L'intégrale étant convergente pour , la formule reste vraie par prolongement analytique et on a bien :


    CQFD.

    PS. La valeur de la somme de la série est-elle vraiment demandée dans l'exercice ?

  21. #16
    Armen92

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Citation Envoyé par breukin Voir le message

    pour à mon avis, et de manière certaine pour .
    Si la série est convergente, sa somme risque d'être en prolongeant analytiquement la formule.
    Le théorème du prolongement analytique est visiblement applicable puisque la série et coïncident pour et que est définie et holomorphe partout dans sauf en .
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  22. #17
    onhernow

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Non la valeur de la somme n'est pas demandée, c'est la convergence qui est demandée, puis une majoration de la limite. Donc c'est tout de même vachement plus simple que de trouver la limite ^^ (avec la majoration du reste ça se fait).
    Je n'ai pas encore bien regardé ta démonstration, en tout cas merci pour le coup de main ^^ maintenant, il ne me reste plus qu'à bien comprendre ta démarche.

  23. #18
    breukin

    Re : Convergence et limite de la somme d'une somme [séries]

    Concernant l'application directe du prolongement analytique, il faut au préalable démontrer que l'expression :

    définit bien une fonction analytique sur , bref que cette série y est convergente.
    Alors le constat que :

    sur permet d'en déduire que cela reste vrai pour .
    Il faut donc justifier la convergence de la série, ce qui était très facile avec réel (série alternée), et sans doute relativement facile mais à justifier quand même avec .

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